1. Равносильные уравнения. Уравнение – следствие. Рациональные уравнения

Равносильные уравнения. Уравнение – следствие. Рациональные уравнения

 Область определения уравнения f(x) = g(x) – множество значений переменной x, при которых имеют смысл обе части уравнения.  

 Например, областью определения уравнения  = 0 является множество {x |x ≠ – 12}

 Равносильные уравнения – уравнения, множества корней которых равны.  

 Например,  x² = 9 и |x| = 3.

Если к обеим частям данного уравнения прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Если перенести из одной части уравнения в другую какое-нибудь слагаемое, заменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Также, если обе части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0, то получим равносильное данному уравнение.

Если множество корней первого уравнения содержит множество корней второго уравнения, то первое уравнение называют следствием второго уравнения.

 Рациональное уравнение – уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями. 

 Рассмотрим несколько примеров  

 Пример 1:  Являются ли равносильными уравнения 5x = 30 и x – 5 = 1?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Как мы видим, уравнения имеют одинаковый корень (x = 6), значит они являются равносильными.

 Пример 2:  Является ли первое уравнение следствием второго? x² = 2x и x = 2.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Первое уравнение имеет корни 0 и 2, а второе 2. Значит, первое уравнение является следствием второго.

 Пример 3:  Является ли рациональным уравнение   –  = ?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Обе части данного уравнения являются рациональными выражениями, поэтому уравнение является рациональным.