4. Равномощные множества. Счётные множества 

Равномощные множества. Счётные множества 

Все множества делятся на конечные и бесконечные. Существует различие в представлении конечных и бесконечных множеств: в любом бесконечном множестве X можно выделить собственное подмножество X1 таким образом, что между множествами X и X1 можно установить взаимно однозначное соответствие.

Таким образом, X и X₁ имеют одинаковую мощность. Для бесконечных множеств мощность означает то же, что для конечных множеств означает “количество элементов”.

Если между множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называются равномощными.

 Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.   

Каждый элемент множества можно пронумеровать: x₁, x_2, x_3, x₄…

 Например,  расположить простые числа в порядке возрастания:

2      3      5       7     11     13       …

⇕     ⇕      ⇕       ⇕      ⇕       ⇕        ⇕

1     2       3       4       5        6       …

Вывод: любое бесконечное подмножество множества X является счётным.

 Рассмотрим несколько примеров  

 Пример 1:  Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и чисел, кратных 4.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Числа кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20.... Их множество зададим с помощью формулы an = 4n. 1⇔4, 2⇔8, 3⇔12, 4⇔16, 5⇔20 ..... n⇔4n.

 Пример 2:  Докажите, что множество чётных чисел 3ⁿ (n∈N) счётно.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Все элементы этого множества расположим в порядке возрастания и пронумеруем: 3⇔1, 9⇔2, 27⇔3..., следовательно множество чисел 3n (n∈N) счётно.