3. НОД, НОК двух натуральных чисел и взаимнопростые числа 

НОД, НОК двух натуральных чисел и взаимнопростые числа

 Перечислим теоремы, описывающие НОД и НОК: 

1. Если x > y, то НОД (x; y) = НОД (x – y; y).

2. Если число m – остаток при делении числа x на число y, то есть x = ym + n, где 0 < n < y, то НОД (x; y) = НОД (y; m).

3. НОК (x; y) является делителем любого общего кратного чисел x и y.

4. Если x ⋮ z и y ⋮ z, то число является общим кратным чисел x и y.

5. НОК (x; y)НОД(x; y) = xy.

6. Если НОД (x; y) = 1, то НОК (x; y) = xy.

7. Если  НОД (y; z) = 1, x ⋮ y и x ⋮ z, то x ⋮ yz.

8. Если НОД (x; y) = 1 и xz ⋮ y, то z ⋮ y.

 Взаимно простые числа – числа, которых НОД = 1. 

 Рассмотрим несколько примеров  

 Пример 1:  Докажите, что для любого n ∈ N НОД (10n + 5; 5n) = 5.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:По теореме (1) выполним действия: НОД (10n + 5; 5n) = НОД (5n + 5; 5n) = НОД (5; 5n) = 5.

 Пример 2:  Число n ∈ Z кратно 5 и кратно 6. Верно ли, что оно кратно 30?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Так как n ⋮ 5 и n ⋮ 6, то n ⋮ (5*6), значит n ⋮ 30.

 Пример 3:  Найдите НОК чисел 4 и 7.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Так как числа не имеют общих делителей, их НОД равен 1. Находим НОК исходя из теоремы (5): НОК = x*y/НОД = 28/1 = 28.