2. Основные правила комбинаторики. Перестановка, размещения и сочетания – На 5 !!!

Основные правила комбинаторики. Перестановка, размещения и сочетания

Комбинаторика – раздел математики, который изучает вопросы выбора или расположения элементов множества в соответствии заданному правилу.

В основе решения комбинаторных задач применяются два правила: правило суммы и правило произведения.

Правило суммы заключается в том, что если множества не имеют общих элементов, что выбор из них случайных элементов можно осуществить количеством способов, равных сумме элементов этих множеств.

Правило произведения заключается в том, что если элемент x можно выбрать m способами и после каждого такого выбора элемент y можно выбрать n способами, то выбор “x или y” в определённом порядке осуществляется количеством способов mn.

Упорядоченное множество – множество, состоящее из x количества элементов, если ним и множеством x натуральных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Перестановка

Перестановка конечного множества – любое упорядоченное множество, образованное из всех элементов этого множества.

Для любого натурального числа n справедлива формула: P_n = n!

где P_n – количество перестановок n – элементного множества M.

Размещение

Размещение из n элементов по k элементов – любое k-элементное упорядоченное подмножество данного n – элементного множества.

Количество всевозможных размещений из n элементов по k элементов обозначаются Ank и вычисляется по формуле:

${A_n}^k$ = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1)

а также по формуле:

${A_n}^k$ =

Сочетания

Сочетание (комбинация) из n элементов по k элементов – любое k-элементное подмножество заданного n-элементного множества.

Сочетания обозначают: ${C_n}^k$ .

Количество всевозможных сочетаний определяют по формуле:

${C_n}^k = {{A_n}^k}/{P_k}$ ,

а также по формуле:

${C_n}^k = {n!}/{(n-k)!k!}$ .

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1: Сколькими способами можно расставить в кладовке 8 тыкв?

Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.

Пример 2: Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6?

Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.

Пример 3: В спортотряде, состоящем из 18 человек нужно выбрать командира и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

Воспользуемся формулой ${A_n}^k$ = , получим = 1718 = 306 способов.

Пример 4: Найдите значение выражения: ${A_10}^3-{A_12}^4$ .

Воспользуемся формулой ${A_n}^k}$ = , получим – = 720 – 11880 = -11160.

Пример 5: Вычислите значение выражения ${C_7}^4$ .

Воспользуемся формулой размещения, получим ${C_n}^k$ = ${{A_n}^k}/{P_k}$ = = = 35.