Методы доказательств неравенств
Для доказательства неравенств используют различные методы. Рассмотрим некоторые из них:
1. Выделение полного квадрата.
Для этого способа необходимо из данного неравенства выделить квадрат двучлена.
2. Метод разности.
Рассматривается разность левой и правой частей неравенства и доказывают, что эта разность принимает значения постоянного знака при любых значениях переменных, входящих в неравенство.
3. Метод применения очевидного неравенства.
Данное неравенство получают в результате преобразования очевидного неравенства или почленного сложения, или умножения нескольких очевидных неравенств.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Докажите неравенство 4x2 – 10xy + 26y2 ≥ 0.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Воспользуемся методом выделения полного квадрат, получим (2x - 5y)^2 + y^2 ≥ 0. Так как любое число в чётной степени больше либо равно 0, то сумма выражений во второй степени будет больше либо равна 0.
Пример 2: Докажите неравенство a2 + 4a + 8 ≥ -2a – 1.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Вычтем из правой части левую часть неравенства, получим a^2 + 6a + 9 ≥ 0. Затем выделим полный квадрат, получим (a + 3)^2 ≥ 0. Так как степень чётная, значит выражение будет больше либо равно 0.
Пример 3: Докажите, что если a ≥ 8, то a3 – 8a2 + a – 8 ≥ 0.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Преобразуем неравенство a ≥ 8, получим a - 8 ≥ 0. Преобразуем неравенство a^3 - 8a^2 + a - 8 ≥ 0, a^2(a - 8) + a - 8 ≥ 0. Получили сумму двух очевидных неравенств, так как они оба больше либо равны 0, то и сумма будет больше либо равна 0.
