10. Разложение многочленов на множители методом группировки

Разложение многочленов на множители методом группировки

Возьмём многочлен ay + by + az + bz. Его не получится разложить методом вынесения общего множителя так, как во всех слагаемых нет одного общего множителя. Поэтому разбиваем данный многочлен на группы, в которых есть общий множитель, выносим его, получаем a(y + z) + b(y + z). Выносим общий множитель y + z и получаем (y + z)(a + b).  Данный метод называют методом группировки. 

 Рассмотрим несколько примеры 

 Пример 1:  Разложите многочлен на множители

а) 2xz + 2yz + 4ax + 4ay;

б) x² – 2x + x – 2;

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:В первом многочлене, как видим, нужно группировать одночлены с одинаковыми числовыми коэффициентами. Получаем 2z(x + y) + 4a(x + y). После вынесения общего множителя получаем (x + y)(2z + 4a). Во втором многочлене у первых двух слагаемых выносим за скобки x, а затем выносим общий множитель: x(x - 2) + x - 2 = (x - 2)(x + 1).

 Пример 2:  Разложите на множители трёхчлен x² + x – 6.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Представим данный многочлен в виде x^2 + 3x - 2x - 6. Сгруппируем первый и третий; второй и четвёртый слагаемые, получим x(x - 2) + 3(x - 2). Вынесем общий множитель и получим (x - 2)(x + 3).

 Пример 3:  Найдите значение выражения 34,810,5 – 34,85,5 + 12,910,5 – 5,512,9.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Группируем поочерёдно слагаемые, получаем 34,8(10,5 - 5,5) + 12,9(10,5 - 5,5) = 5(34,8 + 12,9) = 238,5.