Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Квадрат суммы нескольких выражений
Возьмём многочлен (a + b)2, имеем (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Это тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений.
То есть, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражения и квадрата второго выражения.
Аналогично получаем формулу квадрата разности двух выражений:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
То есть, квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Аналогично получаем формулу квадрата суммы трёх выражений:
(a + b +c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Квадрат суммы трёх выражений равен сумме квадратов этих выражений, сложенной с суммой удвоенных произведений каждых двух выражений.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Представьте в виде многочлена выражение
а) (5a – 4b)2;
б) (2x + 3y + 4z)2;
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пользуясь формулой квадрата разности, в первом случае получаем 25a^2 - 40ab + 16b^2. Во втором случае применяем формулу квадрата суммы трёх выражений, получаем 4x^2 + 9y^2 + 16z^2 + 12xy + 24yz + 16xz.
Пример 2: Решите уравнение (x – 5)2 = (x – 3)2 + 10.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Применим формулы для квадратов разности, получим x2 - 10x + 25 = x2 - 6x + 9 + 10. Упростив, получим -4x = -6. x = 1,5.
Пример 3: Упростите выражение x2 + (4x – 10)2.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пользуясь формулой квадрата разности, получаем x^2 + 16x^2 - 80x + 100, приведя подобные члены, получим 17x^2 - 80x + 100.
