Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений либо в квадрат суммы нескольких выражений
Возьмём формулы квадратов суммы и разности двух выражений, но поменяем местами их правые и левые части:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Как мы видим, эти формулы позволяют преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена.
Таким образом, трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.
Формула a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b +c)2 позволяет в некоторых случаях преобразовывать многочлен в квадрат трёхчлена.
Рассмотрим некоторые примеры
Пример 1: Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена
а) 4x2 + 20x + 25;
б) 144y4 – 312y2 + 169;
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пользуясь формулой, извлечём полный квадрат. В первом случае получим (2x + 5)^2, во втором случае (12y^2 - 13)^2.
Пример 2: Решите уравнение 36x2 – 84x + 49.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:С помощью формулы извлечём полный квадрат и получим (6x - 7)^2.
Пример 3: Докажите, что выражение x2 – 6x + 10 принимает положительные значения при любых значениях x.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Представим выражение в виде x^2 - 6x + 9 + 1. Выделим полный квадрат, получим (x - 3)^2 + 1. Так как квадрат числа всегда больше или равен 0, значит минимальное значение, которое принимает выражение равно 1, выражение всегда принимает положительные значения.
