Сумма и разность кубов двух выражений
Чтобы получить сумму кубов a и b, необходимо умножить двучлен a + b на трёхчлен a2 – ab + b2.
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Это тождество называют формулой суммы кубов двух выражений.
Многочлен a2 – ab + b2 называют неполным квадратом разности.
То есть, сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Аналогично получим формулу разности кубов двух выражений:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Многочлен a2 + ab + b2 называют неполным квадратом суммы.
То есть, разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Разложите на множители
а) 125a3 – b3;
б) 27x3 + 64y3z3;
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Воспользуемся формулой разности кубов, в первом случае получим (5a - b)(25a^2 + 5ab +b^2). Воспользуемся формулой суммы кубов, во втором случае получим (3x + 4yz)(9x^2 - 12xyz + 16y^2*z^2).
Пример 2: Упростите выражение (2x – 1)(4x2 + 2x +1) и найдите его значение при x = 2.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пользуясь формулой разности, получаем 8x^3 - 1. Подставим значение x = 2, получим 63.
Пример 3: Решите уравнение (x – 3)(x2 + 3x + 9) + x2 = x2(x + 1) + 4x – 10.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:При помощи формулы разности кубов получаем x^3 - 27 + x^2 = x^3 + x^2 + 4x - 10. Приведём подобные члены, получим 4x = -17; x = 4,25.
