Применение различных способов разложения многочлена на множители
Мы изучили три способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращённого умножения. Но иногда приходится применять несколько способов в одной задаче. Хотя нет универсальных рекомендаций, можно следовать нескольким советам:
1) при возможности разложение начинают с вынесения общего множителя за скобки;
2) необходимо проверить возможность применения формул сокращённого умножения;
3) если невозможно применить формулы сокращённого умножения, то использовать метод группировки.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Разложите на множители многочлен 48y4 + 6y.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Вынесем за скобки общий множитель: 6y(8y^3 + 1), затем применим формулу суммы кубов, получим 6y(2y + 1)(4y^2 - 2y +1).
Пример 2: Решите уравнение x3 + x2 – 9x – 9 = 0.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Сгруппируем первое и второе, третье и четвёртое слагаемые, получим x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0. Вынесем общий множитель за скобки, получим (x + 1)(x^2 - 9) = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений, получим (x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0.
Пример 3: Разложите на множители трёхчлен x2 + 4x – 5, выделив сначала квадрат двучлена.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:До полного квадрата не хватает 4, поэтому мы можем прибавить 4 и вычесть 4, получаем x^2 + 4x + 4 - 4 - 5, выделяем полный квадрат (x + 2)^2 - 9, пользуясь формулой разности квадратов, получаем (x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = (x - 1)(x + 5).
