Формулы для разложения на множители выражений
an – bn, an + bn
Разложим на множители двучлен a4 – b4: a4 – b4 = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a – b)(a + b)(a2 + b2) = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3).
Вспомним формулы разности квадратов и кубов, а также проанализируем формулу разности четвёртой степени, установим определённую закономерность: если степени одночленов в левой части формулы равны n, то правая часть – произведение двучлена a – b и многочлена, состоящего из всех одночленов степени n – 1, коэффициенты которых равны 1.
Поэтому формула для разложения на множители разности n – х степеней двух выражений (n > 1) имеет такой вид:
an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + …… + abn-2 + bn-1)
Аналогично получим формулу для разложения на множители суммы n – степеней:
an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – ….. – abn-2 + bn-1)
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Разложите на множители x6 – y6.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пользуясь формулой для разложения на множители разности n - степеней, получаем (x - y)(x^5 + x^4*y + x^3*y^2 + x^2*y^3 + x*y^4 + y^5).
Пример 2: Докажите, что выражение 22n – 1 кратно 21 при любом натуральном n.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Применим формулу разности n степеней, получим (22 - 1)(22^n-1 + 22^n-2 +....+ 1). Получим 21(22^n-1 + 22^n-2+..+ 1), видим что выражение кратно 21.
