3. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

 Решить систему уравнений – найти все общие решения нескольких уравнений.  

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки:

Оба уравнения являются линейными, поэтому система называется системой двух линейных уравнений с двумя переменными.

 Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, образующую каждое уравнение в верное равенство. 

Решением представленной выше системы является пара чисел (2; 3).

 Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или доказать, что решений нет. 

 Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными – метод, основанный на построении графиков уравнений и нахождения общего множества точек. 

 Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными графическим методом, нужно:  

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Графический метод эффективен в случае, когда требуется определить количество решений системы.

Если одно из уравнений системы не имеет решений, то вся система решений не имеет.

Если графиком одного из уравнений системы является вся плоскость, то очевидно, что система имеет бесконечно много решений.

Эта система имеет бесконечно много решений.

 Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости: 

1) если прямые пересекаются, то система имеет одно решение;

2) если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений;

3) если прямые параллельны, то система решений не имеет.

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Решите графически систему уравнений

Построим графики:

x + y = 4 – красный график, 2x + 3y = 14 – синий график. По рисунку видим, что решением системы является (-2; 6).

 Пример 2:  Имеет ли решение система уравнений

Построим графики:

Получим x – y = 2 – красный график, |x| – y = 0 – синий график. Видим, что они не пересекаются, значит система не имеет решений.

 Пример 3:  К уравнению 3x + 2y = 6 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая имеет единственное решение.

Возьмём, к примеру уравнение 4x + 10y = 8, построим его график в системе координат вместе с графиком

3x + 2y = 6.

Получим единственное решение системы уравнений (2; 0).