Расширение сведений о множествах
Объединённые по некоторому признаку объекты можно назвать совокупностью, коллекцией, объединением, группой.
Например:
Множество точек плоскости – геометрическая фигура.
Множество точек, которые обладают заданным свойством – геометрическое место точек.
Множество значений аргумента функции – область определения функции.
Множество значений функции – область значений функции.
Множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел – буквой Z, а множество рациональных – Q.
Множество, как мы помним, задают или перечислением всех его элементов или указывают характеристическое свойство, которым обладают все элементы множества и только они.
Например:
{x | x = 7n, n ∈ N} – множество чисел, кратных 7.
Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.
Например:
Множество B = {1} является подмножеством множества цифр десятичной системы счисления A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Соотношения между множествами хорошо иллюстрируются на диаграммах Эйлера-Венна.
Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.
Любое множество является подмножеством самого себя, это записывают A ⊂ A.
Если B ⊂ A и B ≠ A, то множество B называют собственным подмножеством множества A.
Например:
Множество N является собственным подмножеством множества Z.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Пусть X – множество цифр числа 9857. Является ли множество цифр числа y подмножеством множества X, если:
а) y = 97;
б) y = 679;
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:В первом случае видно, что множество цифр числа y состоит из цифр, принадлежащих множеству X, значит оно является подмножеством множества X. Во втором случае y не является подмножеством X.
Пример 2: Задайте с помощью перечисления элементов множество:
Y = {x | x ∈ N, x2 – 4 = 0}.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Элементами множества будут являться корни этого уравнения. Воспользуемся формулами сокращённого умножения, получим x = 2; x = -2.
Пример 3: Пусть A – данная точка плоскости. Что представляет собой множество точек B этой плоскости:
{B | AB = 10 см} ?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Множество точек представляет собой окружность радиусом 10 см.
