Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие
Конечное множество – множество, содержащее конечное количество элементов, обозначается n(X).
Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное количество элементов.
То есть, формулу включения-исключения для двух элементов можно записать так: n( X ⋃ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y).
Формулу включения-исключения для трёх элементов можно записать так: n (X ⋃ Y ⋃ Z) = n (X) + n (Y) + n (Z) – n (X ∩ Y) – n (Y ∩ Z) – n (Z ∩ X) + n (X ∩ Y ∩ Z).
Если каждому элементу множества X поставлен в соответствие единственный элемент множества Y и при этом любой элемент множества Y оказывается соответствующим некоторому единственному элементу множества X, то говорят, что между множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие.
Если между конечными множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие, то n (X) = n (Y). Наоборот, если n (X) = n (Y), то между конечными множествами X и Y можно установить взаимно однозначное соответствие.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: В результате жеребьёвки каждая из 15 танцевальных пар получила порядковый номер её выступления. Между какими множествами установлено взаимно однозначное соответствие?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Взаимно однозначное соответствие установлено между множеством танцевальных пар и множеством порядковых номеров их выступлений.
Пример 2: Семнадцать детей имеют дома хомячков и попугаев. Известно, что у четырнадцати из них есть хомячки, а у восьми – попугаи. У скольки детей есть и хомячки и попугаи?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Примем за множество A тех, кто имеет хомячков, за множество B тех, кто имеет попугаев. Воспользуемся формулой включения-исключения: n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A⋃B), получим 14 + 8 - 17 = 5 человек.
Пример 3: В июне 11 дней шёл дождь, 4 дня – град, 20 дней были солнечными. Сколько дней в июне были с осадками (дождь и град)?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Примем за множество A дни, когда шёл дождь, за множество B дни, когда шёл град, за множество C - ясные дни. Всего в июне 31 день. Воспользуемся формулой включения-исключения: 31 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B). n(A∩B) = 4.
