Утверждения бывают истинными и ложными – они называются высказываниями, также существуют утверждения, истинность или ложность которых нельзя определить.
Если высказывание истинно, то ему поставлено в соответствие число 1, а если ложно, то 0.
Конъюнкция двух высказываний (логическое произведение) – это высказывание, которое истинно, если каждое из двух высказываний истинно, ложно, если хотя бы одно из двух высказываний ложно.Решение:Все элементы этого множества расположим в порядке возрастания и пронумеруем: 3⇔1, 9⇔2, 27⇔3..., следовательно множество чисел 3n (n∈N) счётно.
Конъюнкцию обозначают так: X∧Y, используют логическую связку и.
Таблица истинности для логической операции конъюнкции
X
Y
X∧Y
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Дизъюнкция двух высказываний (логическая сумма) – это высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из двух высказываний истинно, и ложно, если они оба ложны.
Дизъюнкцию обозначают так: X∨Y, используют логическую связку или.
Таблица истинности для логической операции дизъюнкции
X
Y
X∨Y
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Импликация двух высказываний (логическое следование) – такое высказывание, которое ложно при условии, что первое высказывание истинно, а второе ложно, во всех остальных случаях оно истинно.
Импликацию обозначают так: X⇒Y, используют логическую связку если, то.
Таблица истинности для логической операции импликации
X
Y
X⇒Y
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Эквивалентность двух высказываний (двойная импликация) – высказывание, которое истинно, если оба высказывания истинны или оба ложны, и ложно, если одно из них истинно, а другое ложно.
Эквивалентность обозначают так: X⇔Y, используют логическую связку тогда и только тогда.
Таблица истинности для логической операции эквивалентности
X
Y
X⇔Y
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Отрицание двух выражений – высказывание, которое истинно, если первое высказывание ложно, и ложно, если первое высказывание истинно.
Отрицание обозначают так: ¬X, используют логическую связку не.
Таблица истинности для логической операции отрицания
X
¬X
1
0
0
1
Логическое выражение – комбинация логических операций.
Высказывания называются логически эквивалентными, если они оба истинны или оба ложны (X=Y).
Тождественно истинные или тавтологии – выражения, которые всегда являются истинными независимо от истинности высказываний, из которых они образованы.
Рассмотрим выражение X ∨ ¬X и построим для него таблицу истинности.
X
¬X
X ∨¬X
1
0
1
0
1
1
Данное логическое выражение можно назвать тавтологией, которую называют закон исключения третьего.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Даны два высказывания X≡{7<9}, Y≡{7 – чётное число}. Определите, истинными или ложными являются высказывания:
а) X∨Y;
б) X∧Y.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Значение первого выражения истинно, примем его за 1, значение второго выражения ложно, примем за 0. Тогда, по таблицам истинности, первое высказывание будет истинным, а второе ложным.
Пример 2: Составьте таблицу истинности для логического выражения (X∧Y)∧Z.
