Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения
Основные теоремы о сложении и умножении неравенств:
1. Если x > y и z > w, то x + z > y + w.
2. Если x < y и z < w, то x + z < y + w.
3. Если x > y, z > w и x, y, z, w – положительные числа, то xz > yw.
4. Если x < y, z < w и a, b, c, d – положительные числа, то xz < yw.
Также, при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.
При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части – положительные числа, результатом является верное неравенство того же знака.
Следствием из этого будет то, что если x > y и x, y – положительные числа, то xk > yk, где k – натуральное число.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Дано -10 < a < 5. Оцените значение выражения 4a – 5.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Умножим каждую часть неравенства на 4, получим -40 < 4a < 20. Затем вычтем из каждой части 5, получим -45 < 4a-5 < 15.
Пример 2: Дано 5 < x < 7, -3 < y < -1. Оцените значение выражения 3x + 4y.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Домножим на 3 неравенство с x, получим 15 < 3x < 21. Аналогично домножим на 4 неравенство с y, получим -12 < 4y < -4. Сложим полученные неравенства, получим 3 < 3x + 4y < 17.
Пример 3: Известно, что x>5 y>-3 Докажите, что 2x + 3y > 1.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Умножим 2 на 5, получим, 2x больше 10, затем умножим 3 на -3, получим, что 3y > -9. Таким образом, получим, что выражение будет больше 10 - 9 = 1.
