5. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки 

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки

 Решение неравенства с одной переменной – это значение переменной, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство. 

 То есть,   решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их не существует .

Если множества решений неравенств равны, то их называют равносильными.

 Перечислим теоремы, применяемые при решении неравенств:  

1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, при этом изменяя его знак на противоположный, то получим равносильные неравенства.

2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное начальному.

3. При умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число, изменяя знак неравенства, получается неравенство, равносильное данному.

Линейные неравенства с одной переменной имеют вид: mx > l, mx < l, mx ≤ l, mx ≥ l, где x – переменная, m, l – параметры.

Если множество первого неравенства содержит множество второго неравенства, то первое неравенства называют следствием второго.

 Рассмотрим несколько примеров  

 Пример 1:  Решите неравенство 5x + 1 > 4x – 5.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Перенесем слагаемое, содержащее x в левую часть, не содержащее x - в правую и приведём подобные члены. Получим x > -6. Запишем ответ (-6;+∞).

 Пример 2 :Найдите наибольшее целое решение неравенства 9x ≤ -45.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Разделим обе части неравенства на 9, получим x ≤ 5. Значит, наибольшее целое решение неравенства 5.

 Пример 3:  Являются ли неравенства < 1 и x > 5 равносильными?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Преобразуем первое неравенство, получим 55. Как мы видим, множества решений этих неравенств совпадают, а значит неравенства равносильные.