3. Множество действительных чисел

Множество действительных чисел

Рассмотрим множество рациональных чисел. Каждое число можно представить в виде дроби с числителем – целым числом, а знаменателем – натуральным числом.

 Например:  0,4 = .

 Период дроби – периодически повторяющаяся группа цифр в записи числа. 

 Например:  в числе 0,646464646464….. периодом является 64, это число можно записать 0,(64).

Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Рациональные числа обозначаются буквой Q.

Кроме рациональных чисел существуют и иррациональные числа.

 Пример таких чисел:  .

Главное отличие иррациональных чисел от рациональных заключается в том, что иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби и бесконечной периодической десятичной дроби.

 Представление иррациональных чисел – бесконечная непериодическая десятичная дробь. 

 Например:   = 1,7320508075688772935…..

 Множество действительных чисел – объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.  

Его обозначают с помощью буквы R.

Таким образом можно записать цепочку: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

 Напомним, что N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел. 

С действительными числами можно производить вычитание, сложение, деление и умножение.

 Для действительных чисел характерны свойства:  

1. Переместительное свойство сложения.

2. Переместительное свойство умножения.

3. Сочетательное свойство умножения.

4. Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень.

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Сравните числа и 5,72.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Разделив 53 на 9, получим 5,(8), что больше, чем 5,72. 53/9 > 5,72

 Пример 2:  Запишите в порядке возрастания числа ; 1,(04); 1,24.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Рассчитав примерное значение п/3, получим 1,047..., значит наименьшим из чисел будет 1,(04), наибольшим 1,24. В порядке возрастания: 1,(04); п/3; 1,24.

 Пример 3:  Найдите все рациональные числа x и y такие, что число x + y является рациональным.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Так как √33 - иррациональное число, значит y = 0, в это время x - любое рациональное число.