5. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям – На 5 !!!

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Пользуясь теорией, представленной в предыдущей теме, перейдём к решению уравнений:

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1: Решите уравнение ${x^2+5x}/{x-1}$ = .

Найдём область допустимых значений уравнения: x – 1 ≠ 0, откуда x ≠ 1.

Избавимся от знаменателей, домножив обе части на (x – 6), получим + 2x – 3 = 0. Данное уравнение равносильно системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+2x-3=0,} {x ne 1.}}}{}$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{delim{[}{matrix{3}{1}{{x=1,}{x=-3,}}}{}} {x ne 1.}}}{}

Ответ: -3.

Пример 2: Решите уравнение ${3x^2+10x+3}/{x^2+6x+9}$ = 0.

Разложим на множители поочерёдно числитель и знаменатель, получим ${(x+3)(x+{1}/{3})}/{(x+3)^2}$ = 0 Сократив на (x + 3), получим = 0. Данное уравнение равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x + {1}/{3}=0,} {x+3 ne 0.}}}{}

Откуда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=-{1}/{3},} {x ne -3.}}}{}

Ответ: .

Пример 3: Решите уравнение ${1}/{x^2-12x+36}$ – ${1}/{x^2-36}$ = .

Приведём все члены уравнения к общему знаменателю, снесём их влево, получим: ${x^2-12x+24}/{(x-6)^2(x+6)}$ = 0.

Найдём через дискриминант корни уравнения – 12x + 24 = 0: x = 6 и x = 6 + и определим область допустимых значений, получим:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x ne 6,} {x ne -6,} {delim{[}{matrix{3}{1}{{x=6 - 2sqrt{3},}{x=6+2sqrt{3}.}}}{}}}}{}

Ответ: 6 , 6 + .