Квадратный трёхчлен – многочлен вида ax^2 + bx + c, где x – переменная, a, b и c – параметры, a ≠ 0.
Например: 2x2 + 5x + 1.
Корень квадратного трёхчлена – значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.
Квадратный трёхчлен имеет корни в зависимости от значения дискриминанта, который был разобран в одной из предыдущих тем.
Если дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c больше 0, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: a(x – x1)(x – x2), где x1, x2 – корни квадратного трёхчлена.
Если дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен 0, то его разложение можно представить в виде:
ax2 + bx + c = a(x + )2.
Если дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c меньше 0, то его нельзя разложить на линейные множители.
Если дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c меньше 0, то при всех x значения этого трёхчлена имеют то же знак, что и параметр a:
если a > 0, то значение квадратного трёхчлена ax2 + bx + c больше 0;
если a < 0, то значение квадратного трёхчлена ax2 + bx + c меньше 0.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Разложите на множители квадратный трёхчлен x2 – x – 2.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Найдём дискриминант данного трёхчлена: D = 1 - 4*1*(-2) = 9, откуда x1 = -1, x2 = 2. Значит, x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2).
Пример 2: Сократите дробь .
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:С помощью формулы нахождения корней, получим x1 = -2, x2 = 0,2. Получим дробь: (x + 2)(x - 0,2)/(x + 2) = x - 0,2.
Пример 3: При каком значении параметра k разложение на множители трёхчлена 4x2 + 2x + k содержит множитель (x – 10)?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Так как разложение данного выражения содержит множитель (x - 10), то один из корней равен 10. Подставим его вместо x и прировняем значение выражения к 0. Получим: 420 + k = 0, откуда k = -420.
)2.
.
