Целое рациональное уравнение – уравнение вида anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0, где x – переменная, a0, a1… – параметры.
Делитель свободного члена уравнения – целый корень, который имеет рациональное уравнение с целыми коэффициентами.
Если корнями кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0 являются x1, x2, x3, то x1 + x2 + x3 = , x1x2 + x1x3 + x2x3 = , x1x2x3 = .
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Решите уравнение x3 – 2x2 + 3x – 2 = 0.
Выпишем делители свободного члена: -1, 1, -2, 2. Среди них корнем уравнения является 1. Теперь разделим уголком многочлен на x – 1:
x3 – 2x2 + 3x – 2|x – 1
x3 – x2 |x2 – x + 2
-x2 + 3x
-x2 + x
2x – 2
2x – 2
0
Выражение x2 – x + 2 корней не имеет, так как его дискриминант меньше 0.
Ответ: 1.
Пример 2: Числа x1, x2, x3 – корни уравнения 2x3 + nx + m = 0, найдите x1 + x2, если x3 = 4.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Из теоремы, рассмотренной в теории: x1 + x2 + x3 = -b/a, b = 0, откуда x1 + x2 = -4.
, x1x2 + x1x3 + x2x3 = 
, x1x2x3 = 
.
