Корни многочлена и теорема Безу
Корень многочлена – число, при подстановке которого вместо переменной в многочлен его значение будет равно 0.
Теорема Безу: остаток от деления многочлена X(a) на двучлен a – b равен X(b).
Число b является корнем многочлена X(a) тогда, когда многочлен X(a) делится нацело на двучлен a – b.
Приведём некоторые следствия из теоремы Безу:
1. Множество корней многочлена степени n содержит не более n элементов.
2. Если множество корней многочлена степени n содержит элементов больше, чем n, то многочлен тождественно равен 0.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Найдите остаток от деления многочлена x4 – 3x3 + 2x2 + 5x – 3 на двучлен x – 1.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:По теореме Безу в двучлене x - 1 b = 1. Чтобы найти остаток от деления, подставим b в первый многочлен: 1 - 3 + 2 + 5 - 3 = 2.
Пример 2: Докажите, что многочлен x3 – 3x2 – 2x + 6 делится нацело на двучлен x – 3.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:По теореме Безу в двучлене x - 3 b = 3. Чтобы найти остаток от деления, подставим b в первый многочлен: 27 - 3*9 - 2*3 + 6 =0, значит многочлен делится нацело на двучлен.
Пример 3: При каком значении параметра a остаток от деления многочлена 3x3 – x2 – ax + 1 на двучлен x + 1 равен 2?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:По теореме Безу в двучлене x + 1 b = -1. Чтобы найти остаток от деления, подставим b в первый многочлен: -3 - 1 + a + 1 = 2, откуда a = 5.
