Деление многочленов
Один многочлен делится нацело на другой тождественно не равный 0 многочлен, если существует такой многочлен, что для любого x ∈ R первый многочлен равен произведению второго и третьего, где первый многочлен называют делимым, второй – делителем, третий – частным.
Для деления многочленов применяют алгоритм деления “уголком”.
Для любого многочлена X(a) и ненулевого многочлена Y(a) существует единственная пара многочленов Z(a) и W(a) таких, что X(a) = Y(a) * Z(a) + W(a), где степень многочлена W(a) меньше степени многочлена Y(a) или W(a) – нулевой многочлен.
Z(a) называют неполным частным, W(a) – остатком.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Найдите неполное частное и остаток от деления многочлена 2x4 – 4x3 + 2x2 – x на x2 – x.
Запишем деление в виде уголка:
2x4 – 4x3 + 2x2 – 4|x2 – x
2x4 – 2x3 |2x2 – 2x (неполное частное)
-2x3 + 2x2 – 4
-2x3 + 2x2
-4 (ост.)
Пример 2: Докажите, что x4 + 2x3 + 6x2 + 10x + 5 делится на x2 + 2x + 1 без остатка.
Запишем деление в виде уголка:
x4 + 2x3 + 6x2 + 10x + 5|x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + x2 |x2 + 5
5x2 + 10x + 5
5x2 + 10x + 5
0 (остаток)
