Целое число x делится нацело на целое число y (y ≠ 0), если существует такое целое число n, что x = yn.
Основные свойства делимости нацело:
1. Если x≠ 0, то x ⋮ x.
2. Если x≠ 0, то 0 ⋮ x.
3. Если x ⋮ y, то nx ⋮ y.
4. Если x ⋮ y и y ⋮ z, то x ⋮ z.
5. Если x ⋮ m и y ⋮ k, то xy ⋮ mk.
6. Если x ⋮ z и y ⋮ z, то (x ± y) ⋮ z.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Число x кратно 9. Докажите, что 8x ⋮ 72.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Так как x, кратно 9, значит число x кратно и 9, и 8. Значит оно кратно и 72.
Пример 2:Решите в целых числах уравнение x2 + xy + x + y = 7.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки, получим (x + y)(x + 1) = 7.
Откуда:
Ответ: (0; 7), (6; -5), (-8; 7), (-2; -5).
Пример 3: Числа x и y таковы, что каждое из чисел x + 3 и y + 29 кратно 13. Докажите, что x – y кратно 13.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Представим эти числа в виде 13n и 13k. Откуда x = 13n - 3, y = 13k - 29. Их разность равна 13n - 13k + 26 = 13(n - k + 2). Значит их разность кратна 13.
