Деление с остатком и сравнения по модулю, их свойства
Перечислим теоремы о делении с остатком:
1. Для любого целого числа x и натурального числа y существует единственная пара целых чисел m и n таких, что x = ym + n, где 0 ≤ n < y, где m – остаток при делении числа x на y, n – неполное частное при делении x на y.
2. Если целые числа x и y при делении на натуральное число m дают одинаковые остатки, то (x – y) ⋮ m.
3. Если целые числа x и y таковы, что (x – y)⋮m, где m ∈ N, то числа x и y дают одинаковые остатки при делении на m.
4. Для того чтобы целые числа x и y были сравнимы по модулю m, где m ∈ N, необходимо и достаточно, чтобы разность x – y делилась нацело на число m.
Сравнимые по модулю числа – это числа, которые дают одинаковые остатки при делении на определённое число.
Перечислим основные свойства сравнений:
1. Если x ≡ y(mod m), y ≡ z (mod m), то x ≡ z (mod m).
2. Если x ≡ y (mod m), то x + z ≡ y + z (mod m).
3. Если x ≡ y (mod m), то xz ≡ yz (mod m).
4. Если x ≡ y (mod m) и z ≡ w (mod m), то x ± z ≡ y ± w (mod m).
5. Если x ≡ y (mod m) и z ≡ w (mod m), то xz ≡ yw (mod m).
6. Если x ≡ y (mod m), то xn ≡ yn (mod m).
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Найдите неполное частное и остаток при делении числа 457 на число 23.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Представим число 457 в виде x = ym + n, где x = 457, y = 23. Получим 457 = 23*19 + 20, отсюда неполное частное 19, остаток 20.
Пример 2: Какие остатки можно получить при делении целого числа на 9?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:При делении на 9 можно получить остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Пример 3: Какой остаток даёт число вида 5k – 3 при делении на 5?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Число 5k кратно 5, значит число 5k - 3 даёт остаток 2 при делении на 5.
