Признаки делимости
Рассмотрим признаки делимости на некоторые числа:
Признак делимости на 9: натуральное число делится нацело на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится нацело на 9.
Признак делимости на 3: натуральное число делится нацело на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится нацело на 3.
Признак делимости на 11: натуральное число делится нацело на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр с чётными номерами и суммой цифр с нечётными номерами делится нацело на 11.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Какие из данных чисел: 3636387, 37336387, 48585004, 47474747, 500685949 делятся на 9?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Сократим с помощью формул сокращённого умножения: (x^11 - 1)(x^11 + 1) = x^22 - 1. Из следствия малой теоремы Ферма: x^23 ≡ x (mod 23), x^23 - x ≡ 0 (mod 23), x(x^22 - 1) ≡ 0 (mod 23), x(x^11 - 1)(x^11 + 1) ≡ 0(mod 23), x^11 - 1 ≡ 0 (mod 23) или x^14 + 1 ≡ 0 (mod 23), (x^11 - 1) ⋮ 23 или (x^11 + 1) ⋮ 23.
Пример 2: Делится ли число 580054752 на 12?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Так как сумма цифр в числе делится на 3, значит число делится на 3, две последние цифры формируют число, делящееся на 4, значит число делится и на 4. Так как оно делится на 3 и 4, значит число кратно 12.
Пример 3: Вместо звёздочек подставьте всевозможные цифры так, чтобы число делилось на 6: *85*
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Данное число должно делиться на 2 и на 3, а это значит, что последняя цира должна быть чётная и сумма цифр должна делиться на 3. Число может оканчиваться на 0, 2, 4, 6, 8. Если последняя цифра 0, то сумма цифр 13, тогда на первом месте может стоять 2, 5 или 8. Если последняя цифра 2, то сумма цифр 15, тогда на первом месте может стоять 3, 6 или 9. Если последняя цифра 4, то сумма цифр 17, тогда на первом месте может стоять 1, 4 или 7. Если последняя цифра 6, то сумма цифр 19, тогда на первом месте может стоять 2, 5 или 8. Если последняя цифра 8, то сумма цифр 21, тогда на первом месте может стоять 3, 6 или 9.
