2. Возрастание и убывание функции, её наибольшее и наименьшее значения 

Возрастание и убывание функции, её наибольшее и наименьшее значения

 Ноль функции – значение аргумента, при котором значение функции равно 0.  

 Промежуток знакопостоянства функции – промежуток, на котором функция принимает значения одинакового знака.  

 Возрастающая функция на множестве  A ⊂ D(f) – функция, где для любых двух значений аргумента x1, x2, принадлежащих множеству A, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f( x2).  

 Убывающая функция на множестве  A ⊂ D(f) – функция, где для любых двух значений аргумента x1, x2, принадлежащих множеству A, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f( x2).  

 Рассмотрим некоторые теоремы, относящиеся к этой теме:  

1. Если функция y = f(x) является возрастающей (убывающей) на множестве  A ⊂ D(f), то функция y = -f(x) является убывающей (возрастающей) на множестве A.

2. Если функции y = f(x) и y = g(x) являются возрастающими (убывающими) на множестве  A ⊂ D(f) ∩ D(g), то функция y = f(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) на множестве A.

3. Если функции y = f(x) и y = g(x) являются возрастающими (убывающими) на множестве  A ⊂ D(f) ∩ D(g) и для любого x∈ A выполняются неравенства f(x) ≥ 0 и g(x)≥ 0, то функция y = f(x)g(x) является возрастающей (убывающей) на множестве A.

4. Если функция y = f(x) является возрастающей (убывающей) на множестве A и на этом множестве функция f принимает значения одинакового знака, то функция y = 1/f(x) является убывающей (возрастающей) на множестве A.

5. Если функция y = f(x) является возрастающей (убывающей), то уравнение f(x) = a, где a – некоторое число, имеет не более одного корня.  Следствием из этой теоремы является то, что если одна из функций y = f(x) или y = g(x) является возрастающей на множестве A = D(f) ∩ D(g), а другая – убывающей на множестве A, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня.  

6. Если функция f является возрастающей, то уравнение f(f(x)) = x равносильно уравнению f(x) = x.

 Наибольшее значение функции f на множестве A ⊂ D(f) – это такое число (x0), принадлежащее множеству A, что для всех x ∈ A выполняется неравенство f(x0) ≥ f(x). 

 Наименьшее значение функции f на множестве A ⊂ D(f) – это такое число (x0), принадлежащее множеству A, что для всех x ∈ A выполняется неравенство f(x0) ≤ f(x). 

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Используя представленный график, найдите нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки возрастания и промежутки убывания функции, наибольшее и наименьшее значение функции.

Нули функции: 0, 3.

Промежутки знакопостоянства: [-6; 3), (3; 6].

Промежутки возрастания: [-6; 0), (2; 6).

Промежутки убывания: (0; 2).

Наибольшее значение функции: 6.

Наименьшее значение функции: -6.

 Пример 2:  Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x⁵ + 4x + 1 на промежутке [-3; 2].

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Функции y = x^5 и y = 4x + 1 являются возрастающими, поэтому вся функция будет являться возрастающей. Чтобы найти минимальное значение, подставим x = -3, получим -254. Чтобы найти максимальное значение, подставим x = 2, получим 41.