Чётные и нечётные функции
Чётная функция – функция (f), такая, что для любого x ∈ D(f) выполняется равенство f(-x) = f(x).
Нечётная функция – функция (f), такая, что для любого x ∈ D(f) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Перечислим несколько теорем о чётных и нечётных функциях:
1. Если точка A (a; b) принадлежит графику чётной функции f, то точка A1 (-a; b) также принадлежит её графику, который симметричен оси ординат.
2. Если точка A (a; b) принадлежит графику нечётной функции f, то точка A1 (-a; -b) также принадлежит её графику, который симметричен относительно началу координат.
3. Если функции y = f(x) и y = g(x) чётные (нечётные) и D(f) ∩ D(g) ≠∅, то функция y = f(x) ± g(x) является чётной (нечётной).
4. Если функции y = f(x) и y = g(x) чётные (нечётные) и D(f) ∩ D(g) ≠∅, то функция y = f(x)g(x) является чётной. Если одна из функций f или g чётная, а другая – нечётная, то функция y = f(x)g(x) является нечётной.
5. Каждую функцию f, область определения которой симметрична относительно начала координат, можно единственным способом представить в виде суммы чётной и нечётной функций.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Исследуйте на чётность функцию f(x) = 5x2 + 2|x| – 4.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Возьмём функцию f(-x), получим 5x^2 + 2|x| - 4, значение функции не изменилось, она чётная.
Пример 2: Докажите, что функция f(x) = x5 является нечётной.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Возьмём функцию f(-x), получим -x^5, значение функции изменилось, она нечётная.
Пример 3: Докажите, что функция y = x4 + |x| – чётная.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Можно заметить, что функция f(x) = x^4 - чётная, а также функция g(x) = |x| - чётная, откуда по теореме (3) функция y = x4 + |x| является чётной.
