Привет, дорогой читатель! Сегодня мы поговорим не только о Перпендикулярных прямых, но и об углах. Не будем тянуть со вступлением. Поехали!
Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями прямой.
Рис. 17
Например, на рисунке 17 углы АОВ и ВОС смежные. Так как по определению смежных углов лучи ОА и ОС образуют прямую или развёрнутый угол, то
∠AOC = 180° (так как он развёрнутый) = ∠AOB + ∠BOC.
Из этого выводится свойство смежных углов:
Сумма смежных углов равна 180°.
Рассмотрим следующую задачу: Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
Рис. 18
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Пусть даны два равных угла 1 и 2. Сделаем чертёж на рисунке 18 по условию задачи. Пользуясь свойством смежных углов выше составим следующее: ∠1 + ∠3 = 180° ⇒ ∠3 = ∠1 - 180° и ∠2 + ∠4 = 180° ⇒ ∠4 = ∠2 - 180°, но по условию ∠1 = ∠2, и тогда ∠4 = ∠1 - 180° = ∠3. Ответ: Да, смежные углы с равными равны.
Вертикальные углы – углы, у которых стороны являются продолжениями прямых.
Рис. 19
На рисунке 19 при пересечении прямых a и b углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 – вертикальные.
Угол 2 является смежным с углом 1 и углом 3. По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180° и ∠2 + ∠3 = 180°. Отсюда получаем:
∠1 = 180° – ∠2,
∠3 = 180° – ∠2.
Так, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак, свойство вертикальных углов:
Вертикальные углы равны друг другу.
Об углах поговорили, а сейчас по перпендикулярные прямые. Рассмотрим на рисунке 20 две пересекающиеся прямые. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Пусть угол АОС = 90°, и тогда вертикальный ему угол ВОD тоже = 90° (свойство вертикальных углов). Для углов AOC и BOD смежными являются углы COB и AOD, которые тоже вертикальные и по свойству смежных углов равны 180° – 90° (∠AOC = ∠BOD = 90°) = 90°. Так, ∠AOC = ∠BOD = ∠COB = ∠AOD = 90°. Сделаем вывод, что
Если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то и все оставшиеся углы при них тоже прямые.
Рис. 20
Перпендикулярные (Взаимно – перпендикулярные) прямые – это прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямых АB и CD, которые изображены на рисунке 20, кратко обозначается так: AB ⊥ BD. На практике для проведения двух перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник и линейку, плотно приставленные друг к другу.
Заметим такую теорему о перпендикулярных и параллельных прямых:
Теорема:
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Доказательство:
Рис. 21
На рисунке 21 предположим противное, что ON и FP не перпендикулярны прямой TR и пересекаются в точке Н и эта точка наложена сгибом по прямой TR на другую точку Н1, которая тоже лежит на этих прямых, и тогда получается, что через точки H и H1 проходят две прямые: ON и FP. Но это невозможно, так как возникает противоречие с аксиомой о том, что через две точки можно провести только одну прямую. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, прямые ON и FP не пересекаются, а значит ON ⊥ FP.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим следующую задачу: Через точку N, не лежащую на прямой MT, проведены три прямые, которые пересекают прямую МТ в точках G, D и K. Докажите, что две из них не перпендикулярны прямой МT.
Рис. 22
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Составим чертёж на рисунке 22 по условию задачи. Предположим противное, что все три прямые, а именно NG, ND и NK перпендикулярны прямой МТ. И тогда по теореме о двух прямых, которые перпендикулярны третьей, NG, ND и NK не пересекаются между собой, но этого не может быть, так как по условию сказано, что все три прямые проходят через точку N, а значит пересекаются в ней. Значит, наше первое предположение неверно. Если предположить, что две прямые из трёх перпендикулярны, то они бы тоже не пересекались между собой, но противоречиво по условию они имеют общую точку N. Значит, только одна из трех прямых из точки N может быть перпендикулярна прямой МТ. И получается, что две оставшиеся прямые точно не перпендикулярны прямой МТ. Что и требовалось доказать.
Ну вот и подошла к концу очередная наша с тобой тема. Из неё ты узнал некоторые сведения о перпендикулярных прямых. К тому же эта последняя тема Главы I, которая называется “Начало Геометрии”. Все эти 6 из её тем заставили вас вспомнить и познакомится с основными геометрическими сведениями. Увидимся в следующей главе!
Рис. 18
Рис. 21