3. Медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике и перпендикуляр из точки к прямой
Медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике и перпендикуляр из точки к прямой.
Приветствую тебя. Мы, к сожалению, прерываем последовательный порядок трёх признаков равенства треугольников, но по важной причине. Продолжим изучать треугольник и урок сегодня посвятим видам треугольников и элементам в них.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это луч, который делит угол треугольника на два равных и соединяет его вершину с точкой на противоположной стороне.
Высота треугольника – это перпендикуляр, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны (или её продолжением).
На рисунке 26 ты можешь увидеть в ΔАВС медиану АА1, биссектрису ВВ1 и высоту СС1.
Рис. 26
Ну и теперь давайте рассмотрим их основные свойства:
Любой треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.
Действительно, по определению этих трёх элементов можно сказать, что все они соединяют вершину треугольника и какую-то точку на противоположной стороне. А так как у треугольника три вершины по определению, то и всех этих элементов в треугольнике может быть по три на каждую из вершин.
В любом треугольнике медианы из трёх вершин пересекаются в одной точке.
В любом треугольнике биссектрисы из трёх вершин пересекаются в одной точке.
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) из трёх вершин пересекаются в одной точке.
Это действительно так, и мы с тобой обязательно докажем эти факты в Геометрии 8 класса, а сейчас просто запомни их.
Кроме обычного треугольника существует и
Равнобедренный треугольник – это треугольник, две (боковые) стороны которого равны, а третья – основание.
Такой треугольник изображен на рисунке 27.
Рис. 27
Равносторонний треугольник – это треугольник, три стороны которого равны друг другу.
На рисунке 28 ты можешь его увидеть.
Рис. 28
Докажем теперь теоремы о равнобедренном треугольнике.
Теорема:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство:
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Проведём ВD – биссектрису ∠В треугольника АВС, как показано на рисунке 29. Стороны АВ = ВС, так как по условию треугольник равнобедренный, а АВ и ВС это его боковые стороны, ВD – общая сторона (в Геометрии общие стороны любых фигур обозначаются буквой S как на рисунке), ∠ABD = ∠DBC, так как мы сначала провели биссектрису ВD. Треугольники ABD и СВD равны по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому ∠A = ∠C.
Рис. 29
Что и требовалось доказать.
Эту теорему чаще всего называют свойством равнобедренного треугольника.
Теорема:
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство:
Обратимся к рисунку 30, на котором ΔАВС – равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD – биссектриса ∠А.
Рис. 30
Так как ΔАВС равнобедренный, то АВ = АС по определению и ∠АВС = ∠АСВ по свойству выше, а так как AD – биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC. Треугольники ABD и ACD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам или по второму признаку равенства треугольников. Из этого следует, что BD = DC = 0,5 ⋅ ВС, и это значит, что АD – медиана, и ∠ADB = ∠ADC = 0,5 ⋅ 180° = 90° и соответственно AD – высота. Итак, АD по условию биссектриса, а по нашему доказательству ещё и медиана, и высота.
Что и требовалось доказать.
Мы с тобой доказали, что биссектриса является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике. Но справедливы также две похожие теоремы:
Теорема:
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Для её доказательства нужно использовать другое свойство треугольника, которого ты пока не знаешь. Мы с тобой обязательно докажем её в первой теме четвёртой главы этого сайта.
Теорема:
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство:
Посмотрим на рисунок 31, на котором ΔАВС – равнобедренный треугольник, AM – его медиана к основанию ВС. Так как ΔАВС равнобедренный, то АВ = АС по определению и ∠АВС = ∠АСВ по свойству, а так как АМ – медиана, то ВМ = МС = 0,5 ⋅ ВС. Треугольники ABМ и ACМ равны по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников. Из этого равенства сделаем вывод, что ∠ВАМ = ∠МАС, и что из-за этого АМ – биссектриса, и ∠AMB = ∠AMC = 0,5 ⋅ 180° = 90°, следовательно, AМ – высота. Итак, АМ по условию медиана, а по доказательству выше ещё и биссектриса, и высота.
Рис. 31
Что и требовалось доказать.
Ну и для дополнения трёх основных признаков равенства треугольников можно составить ещё два признака для равнобедренных треугольников:
Теоремы:
1. Равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
2. Равнобедренные треугольники равны, если боковая сторона и угол против основания одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу против основания другого треугольника.
Доказательства:
Составим чертёж для наглядности на рисунке 32.
Рис. 32
1. По условию для равнобедренных ΔАВС и ΔА1В1С1: ВС = В1С1, ∠В = ∠В1. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то ∠В = ∠В1 = ∠С = ∠С1. И тогда эти два треугольника равны друг другу по стороне и двум прилежащим к ней углам или по второму признаку равенства треугольников.
2. Также по условию для равнобедренных ΔАВС и ΔА1В1С1: АВ = А1В1 и ∠А = ∠А1, но так как эти треугольники равнобедренные, то АВ = АС = А1В1 = А1С1. И тогда эти два треугольника равны друг другу по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников.
Что и требовалось доказать.
А сейчас давай рассмотрим перпендикуляр из точки к прямой. Пусть дана прямая а и точка А, не лежащая на ней, как на рисунке 33.
Рис. 33
Опустим из точки А перпендикуляр AD к прямой а, а именно так, чтобы АD ⊥ a. Можно сказать, что
Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, который содержит данную точку и перпендикулярен заданной прямой.
Точка D при этом будет основанием перпендикуляра из точки к прямой. Докажем также теорему о таком перпендикуляре:
Теорема:
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.
Доказательство:
Пусть А – точка, не лежащая на прямой ВС. Опишем, как из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС. Отметим точку D так, чтобы угол DВС был равен углу АВС и АВ = DB. По рисунку 34 отрезок AD пересекает BC в С и так как эти углы равны, то первый из них можно наложить на второй так, что сторона АB наложится сгибом по ВС на DВ. При этом сама точка А наложится прямо на D, ведь АВ = DB. Так, при наложении углы АСВ и DCB совпадут друг с другом, а значит они равны. Также они смежные друг с другом и поэтому ∠AСB = ∠DCВ = 0,5 ⋅ 180° = 90°. И получается, что АС ⊥ ВС и отрезок АС – это перпендикуляр из А к прямой ВС.
Рис. 34
Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС: Если предположить противное, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр к прямой ВС, то получается, что эти два перпендикуляра пересекаются в А. Но по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, это невозможно. Итак, наше предположение не верно и из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.
Что и требовалось доказать.
Для проведения на чертеже перпендикуляров, и в частности перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник, который изображён на рисунке 35.
Рис. 35
Итак, сегодня мы прервали последовательность признаков, потому что доказательство третьего признака связано со свойством в этой теме. Это была вынужденная мера. Можешь уже сейчас открывать и читать следующую тему и убедиться в этом самостоятельно.
Рис. 27
Рис. 29
Рис. 30
