Квадратичная функция – функция, которую можно задать формулой вида y = ax^2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – параметры, a ≠0.
Начнём с того, что графиком квадратичной функции является парабола.
Абсциссу вершины параболы (x0) можно найти по формуле x0 = .
Ординату вершины параболы (y0) можно найти по формуле y0 = .
Если параметр a > 0, ветви параболы направлены вверх, а если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
План построения графика квадратичной функции:
1. Найти координаты вершины параболы по формулам: x0 = , y0 = .
2. Определить направление ветвей параболы.
3. Вычислить координаты нескольких точек, принадлежащих заданному графику.
4. Отметить точки на координатной плоскости и соединить их плавной непрерывной линией.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Постройте график функции y = 2x2 – 7x + 6.
Определим координаты вершины: x0 = = 1,75, y0 = = -0,125. Так как параметр a > 0, то ветви направлены вверх. Найдём нули функции: x1= (7 – 1)/4 = 1,5, x2 = (7 + 1)/4 = 2. При y = 0, x = 6. При x = 1, y = 1. Соединим точки, получим график:
Пример 2: При каком значении параметра c наибольшее значение функции -4x2 + 8x + c = 4.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Найдём x0 = -8/-8 = 1. Подставим вместо x 1, получим уравнение -4 + 8 + c = 4, откуда c = 0.
Пример 3: Вершина параболы y = ax2 + bx + c находится в точке C (2; -6), она проходит через точку M (1; 1). Найдите значения коэффициентов a, b и c.
Выразим x0 = = 2, откуда b = -2a. Имея точки, составим систему уравнений:
Подставим b в первое уравнение, получим c = 1 + a. Подставим b и c в третье уравнение, получим a = -7, откуда b = 14, а c = -6.
.
.
= 1,75, y0 = 
= -0,125. Так как параметр a > 0, то ветви направлены вверх. Найдём нули функции: x1= (7 – 1)/4 = 1,5, x2 = (7 + 1)/4 = 2. При y = 0, x = 6. При x = 1, y = 1. Соединим точки, получим график:
