Начинается вторая глава на нашем сайте, в которой ты начнёшь изучать свойства треугольников и окружностей, которые в свою очередь кажутся простыми, но одновременно основными и сложными. Сегодня мы разберём один из трёх признаков равенства треугольников, которые нужны для решения многих задач. Не будем медлить, поехали!
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками (сторонами).
Из названия этой фигуры понятно, что в ней три угла, но кроме того по определению ещё три вершины и стороны. Изобразим на рисунке 23 треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и СА. Обозначается это так: ΔАВС. Но допустимы и другие записи обозначения треугольника, при которых меняется только положение букв: ΔВСА, ΔСАВ, ΔАСВ, ΔСВА и ΔВАС. Часто для краткости записей углы треугольника обозначают по одной букве вершины: ∠А, ∠В, ∠С.
Рис. 23
Периметр фигуры – это сумма длин всех сторон в геометрической фигуре , а значит для треугольника:
Периметр треугольника – это сумма длин всех сторон в треугольнике.
Напомним, что
Равные фигуры – это фигуры в Геометрии, которые имеют одинаковые размеры, форму, площадь и совпадают при наложении друг на друга и
Равновеликие фигуры – это фигуры в Геометрии, которые имеют только одинаковую площадь.
Эта глава про треугольники, а значит определения выше можно перефразировать:
Если два треугольника равны, то стороны, углы и любые другие соответственные элементы одного треугольника равны таким же элементам в другом треугольнике и
Если два треугольника равновелики, то их площади равны.
Значит, любой из двух равных треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся (совпадут), то есть попарно совместятся их вершины, стороны и углы. А вот равновеликие треугольники могут быть не равны друг другу, ведь их равенство заключается только в площади, а их стороны и виды могут быть различны, из-за чего при наложении они не совместятся.
Равенство треугольников АВС и DEF обозначается так: ΔАВС = ΔDEF. Но для равенства двух треугольников можно не накладывать один треугольник на другой, а всего лишь сравнить только некоторые в элементы них. Итак,
Первый признак равенства треугольников
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим на рисунке 24 треугольники АВС и DEF, у которых АВ = DE, АС = DF, углы А и D равны.
Рис. 24
Так как ∠A = ∠D, то треугольник АВС можно наложить на треугольник DEF так, что вершина А совместится с вершиной D, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи DE и DF. По условию АВ = DE, АС = DF, то сторона АВ полностью совместится со стороной DE, а сторона АС – со стороной DF. При этом друг на друга наложатся точки В и E, С и F. Следовательно, совместятся также стороны ВС и EF. Именно так, треугольники АВС и DEF полностью совместятся, значит, по определению они равны.
Что и требовалось доказать.
Также тебе нужно понимать, что
Признак – это доказанная теорема, по которой можно сразу сделать вывод о свойствах фигуры.
Теоремы о равенстве двух треугольников можно считать признаками, так как по ним можно определить равенство двух треугольников по соответственно равным элементам.
Сегодняшний урок хоть и короткий, но очень важный. Лучше ещё раз прочитай его, чтобы надолго запомнить свой первый признак о треугольниках. Дальше будут ещё два признака равенства треугольников.
