Два признака равенства уже позади, и сегодня будет последний – третий. Приступим!
Вспомни:
Если два треугольника равны, то стороны, углы и любые другие соответственные элементы одного треугольника равны таким же элементам в другом треугольнике.
Третий признак равенства треугольников
Теорема:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим на рисунке 36 треугольники АВС и A1B1C1, у которых АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1.
Рис. 36
Приложим треугольник АВС к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от АВ или A1B1, как показано на рисунке 37.
Рис. 37
Так как по построению и по условию АС = А1С = А1С1 и ВС = В1С = В1С1, то треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренные. По свойству для равнобедренных треугольников А1С1С и В1С1С: ∠A1CС1 = ∠A1C1С и ∠С1CB1 = ∠СC1B1, но
∠A1CВ1 = ∠A1CС1 + ∠С1CB1,
∠A1C1B1 = ∠A1C1С + ∠СC1B1,
поэтому ∠A1CB1 = ∠A1C1B1 и значит ∠C = ∠C1.
Так получается, что по условию АС = А1С1, ВС = В1С1 по доказательству∠C = ∠C1. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны друг другу по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников.
Что и требовалось доказать.
Вот и доказали мы с тобой три основных признака равенства треугольников. Но кроме них существует ещё множество разных признаков для разных видов треугольников. Вот, например, ещё один про равносторонний треугольник:
Теорема:
Если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
Доказательство:
Составим чертёж на рисунке 38. По условию АВ = DE, но по определению равнобедренного треугольника АВ = ВС = АС и DE = EF = FD, а значит АВ = ВС = АС = DE = EF = FD. И теперь эти два треугольника равны друг другу по трём сторонам или по третьему признаку равенства треугольников, доказанному выше.
Рис. 38
Что и требовалось доказать.
Ну вот теперь ты знаешь все три основные признаки равенства треугольников. Но кроме них существует ещё разные признаки для разных видов треугольников.
