Здравствуй! Сегодня вы узнаете о новых фигурах и о виде задач, которые существуют в Геометрии.
Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Центр окружности – это точка, от которой равноудалена каждая точка на окружности.
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой на окружности.
Из определений окружности и её радиуса следует, что
Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину.
Рис. 39
Для описания окружности используют запись: ω(O; r), которая означает что дана окружность с центром в О и радиусом r. Например, ω(О; r = ON) – запись об окружности на рисунке 39. Как написано выше все радиусы в окружности равны, а значит ON = OM = OP = r, причём в записи может использоваться любой из этих трёх радиусов.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
На рисунке 40 отрезки АВ и АD – хорды окружности ω(O; r = OB), а отрезок CD – диаметр. Диаметр обозначается буквой d. Вы можете заметить, что для диаметра центр окружности – середина и что диаметр, соответственно, в два раза больше радиуса, так как он, собственно, состоит из двух радиусов. Так можно записать:
d (Диаметр) = 2 ⋅ r (Радиус).
Рис. 40
Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.
На том же рисунке 37 дуги можно обозначить ⌒АСВ и ⌒ADB. Они обе ограничены точками А и В, но первая дуга проходит через точку С, а вторая через D, что отражено в их названиях.
Для построения окружности на чертеже пользуются циркулем, который изображён на рисунке 41.
Рис. 41
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
На рисунке 42 изображены круг (слева) и окружность (справа). Тебе следует понимать, что круг – это часть плоскости с границей в виде окружности, а окружность – это линия, все точки которой равноудалены от центра. В этом и состоит их отличие.
Рис. 42
Построение – это способ решения геометрической задачи, при котором результат получают графическим путем (построением) без каких-либо вычислений с использованием простейших чертежных инструментов.
Вот какие два инструмента тебе понадобятся и что ты можешь с их помощью построить:
Линейка. Она позволяет провести или построить произвольную прямую на плоскости, проходящую через две точки.
Циркуль. С ним можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в любой точке и радиусом, равным нужному отрезку.
И вот ниже пять простых задач на построение:
1. Задача:
На луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Построение:
Рис. 43
Сначала на рисунке 43 нарисуем фигуры, о которых говорится в условии задачи: луч OA и отрезок ВC. Затем циркулем построим окружность радиуса ВC с центром О. На рисунке 44 эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD – искомый.
Рис. 44
Построение завершено.
2. Задача:
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Построение:
Данный угол с вершиной А и луч ОE изображены на рисунке 45. По условию задачи нужно построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОЕ.
Рис. 45
Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересечёт стороны угла А в точках В и С. Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начале луча ОЕ (Центр – точка О). Она пересекает луч OE в точке D. После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках: F и F1. И вот по построению получилось, что искомые углы это ∠FOD и ∠DOF1, так как ∠ВАC = ∠FOD = ∠DOF1. Можете посмотреть на рисунок 46, где изображены все шаги построения.
Рис. 46
Построение завершено.
3. Задача:
Построить биссектрису данного угла.
Построение:
Рис. 47
На рисунке 47 дан угол ВАС. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С. Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С. Они пересекутся в двух точках, как на рисунке 48. Обозначим одну из них внутри угла буквой D.
Луч АD – искомая биссектриса угла ВАС.
Рис. 48
Построение завершено.
4. Задача:
Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Построение:
Рис. 49
На рисунке 49 изобразим прямую а и точку D, принадлежащую этой прямой. На прямой а отложим равные отрезки DT и DR. Затем построим две окружности с центрами T и R с радиусом, который равен TR. Они пересекаются в двух точках: I и J. Проведём прямую них, как на рисунке 50. Эта прямая – искомый перпендикуляр к данной прямой а.
Рис. 50
Построение завершено.
5. Задача:
Построить середину данного отрезка.
Построение:
Рис. 51
Пусть на рисунке 51 АВ – данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках C и D. Проведём прямую CD. На рисунке 52 точка E пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая точка середины отрезка АВ.
Рис. 52
Построение завершено.
Итак, сегодня прошёл насыщенный урок. На нём был новый вид геометрических задач. Надеемся, что тебе он понравился и ты понял и запомнил всё самое нужное.
