Третья глава нашего сайта посвящена изучению параллельных прямых. Если прочитаешь эту тему дальше, то узнаешь, что это за прямые.
В первой теме первой главы мы уже говорили, что
Две прямые либо имеют только одну общую точку пересечения, либо вообще не имеют таких точек.
То есть две прямые или пересекаются в общей для них точке, или вообще не пересекаются. Ну и:
Параллельные прямые – это прямые на плоскости, которые никогда не пересекаются.
Параллельность прямых а и b в записях обозначается так: а || b.
Напомним также из темы про перпендикулярные прямые из первой главы:
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
То есть если a ⊥ c и b ⊥ с, то а || b и можно эту теорему чуть изменить для параллельных прямых:
Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.
Параллельными могут быть не только прямые, а также лучи и отрезки.
Параллельные отрезки – это отрезки, которые лежат на параллельных прямых и
Параллельные лучи – это лучи, которые лежат на параллельных прямых.
Для примера приведён рисунок 53. На нём есть параллельные прямые b и d (b || d), на которых отмечены точки A, B, C и D. Здесь отрезок АВ || СD и луч АВ || CD.
Рис. 53
Секущая прямая – это прямая, которая пересекает другие прямые под некоторым углом.
При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов, которые имеют свои названия и на рисунке 54 обозначены цифрами.
Накрест лежащие углы – это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены (на рисунке 54 это ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5).
Односторонние углы – это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены (на рисунке 54 это ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6).
Соответственные углы – это углы, которые находятся в одном и том же относительном положении на пересечении секущей и других линий (на рисунке 54 это ∠1 и ∠5, ∠4 и ∠8, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7).
Рис. 54
Существуют теоремы – признаки, по которым можно сразу понять параллельность прямых через углы, которые в свою очередь появились при пересечении прямых секущей. Давайте рассмотрим их.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны ∠1 = ∠2.
Возможны два случая:
1.∠1 = ∠2 = 90°.
Этот случай изображён на рисунке 55. Тогда прямые а и b перпендикулярны прямой АВ и, следовательно, параллельны друг другу по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.
Рис. 55
2.∠1 = ∠2 ≠ 90°.
Отметим середину отрезка АВ – точку Е и опустим из неё перпендикуляр EC к b. На прямой d от точки В отложим отрезок ВD, равный АC, как показано на рисунке 56 и проведём отрезок ED, который продолжает СЕ. По этому построению BE = EA, BD = АС и ∠ACE = 90°, а по условию ∠1 = ∠2. Из этого следует равенство ΔBDE и ΔACE по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников. А уже из этого равенства следует, что ∠ACE = ∠BDE = 90°. Так, прямые b и d перпендикулярны к прямой СD, и поэтому они параллельны между собой по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.
Рис. 56
Что и требовалось доказать.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых b и d секущей АВ соответственные углы равны, например, ∠1 =∠3. Обратимся к рисунку 57.
Рис. 57
Так как углы 1 и 2 – вертикальные, то ∠1 = ∠2. И получается, что ∠1 =∠3 и ∠1 = ∠2. Из этих двух равенств следует, что ∠2 = ∠3. Но углы 2 и 3 – накрест лежащие, и так как они равны, то по признаку параллельности прямых по накрест лежащим углам прямые b и d параллельны.
Что и требовалось доказать.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых b и d секущей АВ сумма односторонних углов равна 180°, например, ∠1 + ∠3 = 180°, как на рисунке 58.
Так как углы 1 и 2 – смежные, то ∠1 + ∠2 = 180°. И получается, что ∠1 + ∠3 = 180° и ∠1 + ∠2 = 180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 2 и 3 равны, и по признаку параллельности прямых по накрест лежащим углам прямые b и d параллельны.
Рис. 58
Что и требовалось доказать.
Итак, сегодня ты узнал, что такое параллельные прямые и какие существуют признаки определения параллельности прямых через углы, которые образовались при пересечении их секущей.
