2. Аксиомы параллельных прямых и углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами
Аксиомы параллельных прямых и углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.
В этот раз давай рассмотрим обратные теоремы, которые можно получить из теорем с прошлого урока. И в конце ещё немного поговорим об углах с необычными сторонами.
На странице Геометрии 7, 8 и 9 классов нашего сайта написано, что
Аксиома – это исходное положение или факт, который принимается истинным без требования доказательства.
На первом же нашем с тобой уроке уже была сформулирована первая основная аксиома в Геометрии:
Через любые две точки можно провести только одну прямую.
А в темах сравнения отрезков и углов и задачах на построение мы руководствовались тем, что
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному и
От любого луча в заданную сторону можно отложить только один угол, равный данному неразвёрнутому углу.
Итак, урок про аксиомы параллельных прямых и вот они:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной ,
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую и
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Последние две аксиомы являются следствиями из первой, и вообще
Следствие – утверждение, которое выводится из аксиом или теорем и является частным случаем для них.
Ну и сейчас давайте рассмотрим несколько обратных теорем.
Из прошлой темы ты хорошо помнишь, что
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны , но есть и
Обратная теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство:
Пусть даны параллельные прямые b и d пересечены секущей АВ. Изобразим рисунок 59, на котором ∠1 и ∠2 накрест лежащие.
Рис. 59
Предположим противное, что углы 1 и 2 не равны. Тогда если провести прямую через точку В, у которой накрест лежащий угол при пересечении с АВ был бы равен углу 1, то получается, что через точку В проходят две прямые, параллельные прямой b, что противоречит аксиоме о параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и ∠1 = ∠2.
Что и требовалось доказать.
Следствие из этой обратной теоремы:
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Доказательство:
Действительно, пусть какая-нибудь прямая АВ || CD, EF ⊥ AB, и соответственно ∠AEF = 90° (Рисунок 60). Прямая EF пересекает прямую AB, поэтому по аксиоме она пересекает также прямую CD. При пересечении параллельных прямых AB и CD секущей образуются равные накрест лежащие углы: ∠AEF = ∠EFD = 90°, а значит EF ⊥ CD.
Рис. 60
Что и требовалось доказать.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
И обратная теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство:
Пусть параллельные прямые AB и CD пересечены секущей EF, как на рисунке 61. Так как AB || CD и секущая EF, то накрест лежащие углы AEF и EFD равны, но ∠AEF = ∠GEB равны как вертикальные. Из равенств ∠AEF = ∠EFD и ∠AEF = ∠GEB следует, что ∠EFD = ∠GEB.
Рис. 61
Что и требовалось доказать.
Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
И обратная:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство:
Пусть параллельные прямые АВ и CD пересечены секущей EF. Посмотрим на рисунок 53. Так как AB || CD, а EF секущая, то накрест лежащие углы AEF и EFD равны. Углы AEF и FEB смежные, поэтому ∠AEF + ∠FEB = 180°. Из равенств ∠AEF = ∠EFD и ∠AEF + ∠FEB = 180° следует, что ∠FEB + ∠EFD = 180°.
Рис. 62
Что и требовалось доказать.
Докажем также теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.
Теорема:
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
Доказательство:
Если бы такой угол был развёрнутым, то и угол с соответственными параллельными сторонами был бы развёрнутым, потому что они бы лежали на параллельных прямых и поэтому были бы равны друг другу.
Если ∠FJI – неразвёрнутый угол, то сделаем чертёж на рисунке 63, где даны четыре прямые, которые попарно параллельны и теперь надо найти такие углы, у которых бы JF || GD и JI || GF. При этом возможны два расположения такого второго угла с соответственно параллельными сторонами: DGF и FGK. Параллельные прямые LI и He пересечены секущей AB в точках J и F, и поэтому ∠FJI = ∠JFG, как накрест лежащие при этих прямых. Параллельные прямые AB и CD пересечены секущей HE в точках F и G, и поэтому ∠JFG = ∠DGF, как накрест лежащие и ∠JFG + ∠FGK = 180°, как односторонние при этих прямых. А значит ∠FJI = ∠DGF, как накрест лежащие и ∠FJI + ∠FGK = 180°.
Рис. 63
Что и требовалось доказать.
Докажем дальше похожую теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.
Теорема:
Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие утлы или равны, или в сумме составляют 180°.
Доказательство:
Если один из углов развёрнутый или прямой, то и другой угол будет развёрнутым или прямым, потому что они были бы взаимно перпендикулярны и при этом равны друг другу.
В остальных случаях этот угол будет либо < 90°, либо > 90°.
Для первого случая, где ∠DCE < 90° проведём луч CH и СG так, чтобы прямые CD и CH, а также CE и CG были взаимно перпендикулярными, как на рисунке 64. Поскольку ∠DCE = 90° – ∠DCG и ∠HCG = 90° – ∠DCG, то ∠DCE = ∠HCG. При этом стороны угла HCG соответственно параллельны сторонам угла BAF (CD ⊥ CH и CD ⊥ AF, а значит CH || AF, а также CE ⊥ CG и CE ⊥ AB, а значит CG || AB), и поэтому либо ∠HCG = ∠BAF, либо ∠HCG + ∠BAF = 180°. И значит, либо ∠DCE = ∠BAF, либо ∠DCE + ∠BAF = 180°.
Для второго случая, где ∠ICE > 90° обратимся всё к тому же рисунку 64. Поскольку ∠DCE = 90° – ∠DCG и ∠HCG = 90° – ∠DCG, то ∠DCE = ∠HCG. При этом стороны угла HCG соответственно параллельны сторонам угла BAF (CD ⊥ CH и CD ⊥ AF, а значит CH || AF, а также CE ⊥ CG и CE ⊥ AB, а значит CG || AB), и поэтому либо ∠HCG = ∠BAF, либо ∠HCG + ∠BAF = 180°. И значит, либо ∠DCE = ∠BAF, либо ∠DCE + ∠BAF = 180°. Так как углы ICE и DCE смежные, то ∠ICE + ∠DCE = 180° и ∠ICE = 180° – ∠DCE. И получается, что либо ∠ICE + ∠BAF = 180°, либо ∠ICE = ∠BAF.
Рис. 64
Что и требовалось доказать.
Итак, на этом уроке ты вспомнил самую первую в Геометрии аксиому и узнал ещё два следствия из неё. Также к теоремам из прошлой темы здесь были приведены обратные. До встречи в следующей главе!
