1. Сумма углов в треугольнике

Сумма углов в треугольнике.

В этой главе мы снова вспомним о треугольниках и будем дополнять свойства, которые ты уже знаешь, другими. Приступим!

Давай докажем важнейшую из теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.

 Теорема: 

 Сумма углов треугольника равна 180°. 

 Доказательство: 

Рассмотрим на рисунке 65 произвольный треугольник АВС и проведём через вершину В прямую DE, параллельную стороне АС. И теперь ∠DBA = ∠BAС и ∠BEC = ∠BCA, так как они являются накрест лежащими углами при пересечениях параллельных прямых DE и АС секущими АВ и BC.

Рис. 65

Можно заметить, что сумма ∠DBA + ∠ABC + ∠CBE = 180°, так как эти три угла составляют развёрнутый с вершиной В. Из равенств ∠DBA = ∠BAС, ∠СBE = ∠BCA и ∠DBA + ∠ABC + ∠CBE = 180° получается, что ∠BAС + ∠ABC + ∠BCA = 180° или ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

 Что и требовалось доказать. 

В одной из прошлых тем мы обещали тебе доказательство теоремы и вот оно:

 Теорема: 

 Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 

 Доказательство: 

Изобразим рисунок 66, на котором ΔАВС – равнобедренный треугольник с основанием ВС, а AН – его высота к ВС.

Рис. 66

Так как ΔАВС равнобедренный, то АВ = АС по определению и ∠АВС = ∠АСВ по свойству, а так как AH – высота, то ∠AНВ = ∠AНC = 90°. По теореме о сумме углов в треугольнике: ∠BAH = 180° – ∠AHB – ∠ABH и ∠HAC = 180° – ∠AHC – ∠ACH и из двух равенств выше получается, что ∠BAH = ∠HAC. Для треугольников ABH и ACH AH – общая сторона. И вот треугольники ABH и ACH равны по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку. Из этого следует, что BH = HC = 0,5 * ВС, что значит, что АH – медиана, и ∠BAH = ∠HAC, что значит, что AH – биссектриса. Итак, АH по условию высота, а по нашему доказательству ещё и медиана, и биссектриса.

 Что и требовалось доказать. 

 Внешний угол треугольника – угол, смежный с любым углом этого треугольника. 

 Теорема: 

 Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 

 Доказательство: 

Обратимся к рисунку 67 на котором угол BCD – внешний угол, смежный с углом ACB данного треугольника. Так как ∠ACB + ∠BCD = 180°, так как они смежные, а по теореме о сумме углов треугольника: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°, то получается, что ∠BCD = ∠BAC + ∠АВС.

Рис. 67

 Что и требовалось доказать. 

Из темы измерения углов вспомни, что

 Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180° и развёрнутым, если он равен 180°. 

И теперь с видами углов и с теоремой о сумме углов в треугольнике можно сказать, что

 В любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. 

Из этого утверждения можно сделать вывод, что

 Если все три угла в треугольнике острые, то треугольник называется остроугольным ,

 Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным  и

 Ну и если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. 

На рисунке 68 ты можешь увидеть эти три вида треугольников: остроугольный ΔABC, прямоугольный ΔDEF и Тупоугольный ΔGHI.

Рис. 68

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Рис. 69

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Пусть на рисунке 69 дан равносторонний треугольник ABC. Так как они равносторонний, то АВ = ВС = СА по определению. Значит ΔАВС равнобедренный и ∠АВС = ∠АСВ по свойству равнобедренного треугольника. Также и ΔВАС равнобедренный и ∠ВАС = ∠АСВ. Получается, что ∠ВАС = ∠АВС = ∠АСВ или ∠А = ∠В = ∠С. И по теореме о сумме углов в треугольнике ∠А + ∠В + ∠С = 180°, и ∠А = ∠В = ∠С = 180° : 3 = 60°. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые.

Рис. 70

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Пусть на рисунке 70 дан равнобедренный треугольник ABC. По его свойству ∠ВАС = ∠ВСА. Предположим противное, что ∠ВАС и ∠ВСА не острые, то есть ∠ВАС = ∠ВСА ⩾ 90°. Значит сумма углов в этом треугольнике > 180°, но этого не может быть, потому что в любом треугольнике ∠А + ∠В + ∠С = 180°. Поэтому наше предположение неверно, и поэтому ∠ВАС и ∠ВСА всегда острые. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим следующую задачу: Медиана BD треугольника АВС равна половине стороны AС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Рис. 71

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Пусть на рисунке 71 дан треугольник ABC, у которого BD – медиана к AD и BD = AD = DC. Треугольники ADB и BDC – равнобедренные, так как BD = AD и BD = DC. Значит по свойству такого треугольника ∠DAB = ∠DBA и ∠DBC = ∠DCB. По теореме о сумме углов в треугольнике: ∠А + ∠В + ∠С = 180° ⇒ ∠DAB + ∠AВC + ∠DCB = 180° ⇒ ∠DAB + (∠DBA + ∠DBC) + ∠DCB = 180° ⇒ ∠DBA +∠DBA + ∠DBC + ∠DBC = 180° ⇒ 2 ⋅ (∠DBA + ∠DBC) = 180° ⇒ ∠DBA + ∠DBC = ∠B = 90°, а значит ΔABC – прямоугольный. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Рис. 72

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Пусть на рисунке 72 дан равнобедренный треугольник ABC с внешним углом CBD, в котором проведена биссектриса BE. ∠CBD = ∠BAC + ∠BCA, так как он внешний, но ΔABC – равнобедренный, а значит ∠BAC = ∠BCA. И получается, что ∠CBD = 2 ⋅ ∠BCА. Биссектриса BE для ∠CBD, а значит ∠DBE = ∠EBC = 0,5 ⋅ ∠CBD = ∠BCА. И вот, ∠EBC = ∠BCА, а они накрест лежащие при BE, AC и секущей ВС, а значит BE || AC по признаку параллельности прямых. Что и требовалось доказать.

Сегодня мы рассмотрели основную теорему для треугольников в Геометрии. А дальше ты узнаешь об отношениях сторон и углов в этой фигуре.