2. Соотношение сторон и углов в треугольнике

Соотношение сторон и углов в треугольнике.

В этой теме будет не такая значимая, как предыдущая, но всё равно нужная теорема. Вперёд!

 Теорема: 

 В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 

 Доказательство: 

Пусть в треугольнике АВС, который изображён на рисунке 73, сторона АС больше стороны АВ, то есть АС > АВ.

Рис. 73

Отложим на стороне АС отрезок AD, равный АВ. Так как AB < AC по условию, то и AD < AC. И получается, что точка D лежит между точками А и С. Следовательно, угол ABD является частью угла ABC, и, значит, ∠ABC > ∠ ABD. Угол BDA — внешний угол для треугольника BDC, и поэтому ∠BDA > ∠BCD. Углы ABD и ADB равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника ADB. Таким образом, ∠ABC > ∠ABD, ∠ABD = ∠ADB, ∠ADB > ∠BCD. Отсюда следует, что ∠ABC > ∠BCD, а это углы против АС > АВ.

 Что и требовалось доказать. 

 Обратная теорема: 

 В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 

 Доказательство: 

Пусть на рисунке 74 в треугольнике ABC ∠C > ∠B.

Рис. 74

Предположим противное, что либо АВ = АС, либо АВ < АС. Если АВ = АС, то ΔАВС — равнобедренный, и, значит, ∠C = ∠B, что противоречит условию о том, что ∠C > ∠B. А если АВ < АС ∠B > ∠C, так как против большей стороны лежит больший угол и опять противоречие с условием. Поэтому наше предположение неверно и АВ > АС.

 Что и требовалось доказать. 

Из этой обратной теоремы есть полезное следствие – признак для определения равнобедренного треугольника:

 Следствие: 

 Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 

 Доказательство: 

Пусть в каком-то треугольнике два угла равны. Тогда по обратной теореме выше равны и стороны, лежащие против этих углов, а значит треугольник – равнобедренный.

 Что и требовалось доказать. 

Это следствие можно считать признаком равнобедренного треугольника.

 Теорема: 

 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 

 Доказательство: 

Рассмотрим произвольный треугольник АВС на рисунке 75. Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный стороне ВС. В равнобедренном треугольнике BCD ∠CDB = ∠CBD, а в треугольнике ABD ∠СВD – часть ∠ABD, а значит ∠ABD > ∠СВD и соответственно ∠ABD > ∠СDВ.

Рис. 75

Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то из ∠ABD > ∠СDВ следует, что AD > AB. Но AD = АС + CD = АС + СВ, так как СD = BC, и поэтому АС + СВ > АВ.

 Что и требовалось доказать. 

И из этой теоремы можно сформулировать следствие о любом существующем треугольнике, которое называется неравенством треугольника.

 Следствие (Неравенство треугольника): 

 Для любых трёх точек А, В и С, которые не лежат на одной прямой, всегда выполняются следующие три неравенства: 

 1. АВ < АС + СВ ,

 2. АС < АВ + ВС ,

 3. ВС < ВА + АС. 

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Рис. 76

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Составим чертёж на рисунке 76 для наглядности. Так как ΔABC равнобедренный, то по его свойству ∠ВАС = ∠ВСА. Когда отрезок BD проведён к основанию, то возможны три случая: ∠BDA тупой или ∠BD₁A прямой или ∠BD₂A острый. Во всех трех случаях эти углы больше ∠ВАС, а значит АВ будет всегда против больших углов ∠BDA или ∠BD₁A или ∠BD₂A, а значит всегда будет АВ > BD или BD₁ или BD₂. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Рис. 77

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Составим чертёж на рисунке 77. Возможны два случая: когда медиана и высота не совпадают (В любом треугольнике, кроме равнобедренного и равностороннего) и когда совпадают (В равнобедренном и равностороннем). В первом случае получается прямоугольный треугольник ВМН, у которого наибольший угол ВНМ = 90°, а значит большая сторона в этом треугольнике – ВМ. И значит ВМ > ВН. А во втором случае медиана BD и высота BD совпадают друг с другом, и поэтому они равны друг другу. Итак, в первом и втором случае медиана не меньше высоты. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:По неравенству треугольнике АВ + ВС > АС, и если перенести ВС вправо со знаком -, то АВ > АС - ВС. Что и требовалось доказать.

Итак, сегодня ты узнал некоторые отношения элементов в треугольнике. Они работают в абсолютно любом треугольнике.