3. Прямоугольные треугольники и признаки их равенства

Прямоугольные треугольники.

Сегодня мы с тобой поговорим о прямоугольных треугольниках, которые довольно часто встречаются на практике.

Вспомни, что

 Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. 

Стороны такого треугольника имеют свои собственные названия. Так сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами. Для понимания представлен рисунок 78.

Рис. 78

Из теоремы прошлого урока, которая представлена ниже, для прямоугольных треугольников существует следствие.

 В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 

 Следствие: 

 В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета. 

 Доказательство: 

Итак, гипотенуза лежит против прямого угла, а два катета – против острых. Так как прямой угол всегда больше острых, то по теореме выше прошлого урока гипотенуза будет всегда больше катета.

 Что и требовалось доказать. 

Рассмотрим новые свойства прямоугольных треугольников.

 Теорема: 

 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 

 Доказательство: 

Действительно, сумма углов любого треугольника по одноимённой теореме равна 180°, а прямой угол равен 90°, и поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 180° – 90° = 90°.

 Что и требовалось доказать. 

 Теорема: 

 Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 

 Доказательство: 

На рисунке 79 рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол А – прямой = 90°, ∠B = 30° и, значит, ∠C = 90° – 30° = 60°.

Рис. 79

Приставим со стороны катета АВ к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 80. Получим треугольник BCD, в котором ∠B = ∠D = ∠С = 60°, и поэтому он равносторонний, а значит DC = BC = BD. И получается, что AC = AD = 0,5 ⋅ DC, так как AC = AD и AC + AD = DC.

Рис. 80

 Что и требовалось доказать. 

 Обратная теорема: 

 Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 

 Доказательство: 

Рассмотрим на рисунке 81 прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС.

Рис. 81

Так же, как и в прошлой теореме, приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 82. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы такого треугольника равны друг другу и каждый из них равен 60°, как мы с тобой доказывали в позапрошлой теме. Нам нужен ∠DBC = 60°. Но ∠DBC = 2∠ABC, так как ∠ABC = ∠ABD, потому что мы прикладывали равные треугольники друг к другу. Следовательно, ∠ABC = ∠ABD = 30°.

Рис. 82

 Что и требовалось доказать. 

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Мы уже с тобой разбирали признаки равенства обычных треугольников. Но в прямоугольных треугольниках один угол всегда прямой. И вот

 Из первого признака равенства треугольников следует: 

 Теорема: 

 Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 

 Доказательство: 

Два катета равны – две стороны равны, а углы между ними у двух треугольников – прямые. Значит эти два прямоугольных треугольника равны по двум сторонам и углу между ними или по первому признаку равенства треугольников.

 Что и требовалось доказать. 

 Из второго признака равенства треугольников следует: 

 Теорема: 

 Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. 

 Доказательство: 

Катеты равны – стороны равны, а прилежащие к ним углы – один острый, а второй прямой, равные у двух этих треугольников. Значит эти два прямоугольных треугольника равны по стороне и двум прилежащим к ним углам или по второму признаку равенства треугольников.

 Что и требовалось доказать. 

 Теорема: 

 Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого, то такие треугольники равны. 

 Доказательство: 

Катеты равны – стороны равны, а прилежащие к ним углы: один равен, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а противолежащий угол в сумме равен, а второй прямой, равный у двух этих треугольников. Значит эти два прямоугольных треугольника равны по стороне и двум прилежащим к ним углам или по второму признаку равенства треугольников.

 Что и требовалось доказать. 

 Теорема: 

 Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. 

 Доказательство: 

Гипотенузы равны – стороны равны, а прилежащие к ним углы – острые: один равен по условию, а второй тоже равен, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а первый угол в сумме равен. Значит эти два прямоугольных треугольника равны по стороне и двум прилежащим к ним углам или по второму признаку равенства треугольников.

 Что и требовалось доказать. 

 Из третьего признака равенства треугольников следует: 

 Теорема: 

 Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. 

 Доказательство: 

Рассмотрим на рисунке 83 треугольники АBС и А₁B₁С₁, у которых углы С и C₁ – прямые = 90°, АB = А₁B₁, BС = B₁С₁.

Рис. 83

Так как ∠C = ∠C₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁B₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁B₁. Поскольку СB = С₁B₁ и АB = А₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁ и тогда вершины А и А₁ также совместятся. Следовательно, полностью наложатся точки А, В и С на А₁, В₁ и С₁ соответственно. А значит треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

 Что и требовалось доказать. 

 Рассмотрим следующую задачу: Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Рис. 84

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Доказательство:Составим чертёж по условию задачи на рисунке 84. Итак сторона ВС = В₁С₁, высоты BD = B₁D₁ и CE = С₁Е₁. Так как BD ⊥ AC и B₁D₁ ⊥ A₁C₁, то ΔBDC и ΔB₁D₁C₁ – прямоугольные, а так как катет BD = B₁D₁ и гипотенуза ВС = В₁С₁, то ΔBDC = ΔB₁D₁C₁. Из этого равенства следует, что ∠BСD = ∠B₁С₁D₁. Также AB ⊥ CE и A₁B₁ ⊥ C₁E₁, то ΔEBC и ΔE₁B₁C₁ – прямоугольные, а так как катет CE = C₁E₁ и гипотенуза ВС = В₁С₁, то ΔEBC и ΔE₁B₁C₁. Из этого равенства следует, что ∠EBC и ∠E₁B₁C₁. И теперь так как ВС = В₁С₁, ∠BСD = ∠B₁С₁D₁ и ∠EBC и ∠E₁B₁C₁, то ΔABC и ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам или по второму признаку равенства треугольников.Что и требовалось доказать.

Итак, сегодня вы узнали некоторые свойства и теоремы, по которым можно определить равенство прямоугольных треугольников.