4. Расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми и построение треугольников по трём элементам

Расстояние от точки до прямой и расстояние между параллельными прямыми.

Последнюю тему главы посвятим расстоянию от точки до прямой, расстоянию между параллельными прямыми и задачам на построение, где будем строить треугольники.

 Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, который соединяет эти две точки. 

В Геометрии это обозначается так: ρ(A, B) = AB. Ну а теперь расстояние от точки до прямой:

 Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. 

Пусть на рисунке 85 отрезок АС – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, B – любая точка на прямой а и тогда ρ(A, a) = AС, так как AC ⊥ a. Отрезок AB это наклонная, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АBC катет АC всегда будет меньше гипотенузы AB, так как против большего угла лежит большая сторона в любом треугольнике:

 Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, всегда будет меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. 

Рис. 85

 Теорема: 

 Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой такой прямой. 

 Доказательство: 

Рассмотрим две параллельные прямые а и b, на последней отметим точки А и D и проведём из этих точек перпендикуляры АВ и DC к прямой a, как на рисунке 86. При этом так как DC ⊥ a, то DC ⊥ b. Прямоугольные треугольники CDB и ADB равны по общей для них гипотенузе и острым углам ADB и DBC, которые равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей DB. Следовательно, AB = CD или ρ(A, a) = AB = ρ(D, a) = СD, а значит любая другая точка прямой а находится на расстоянии АВ или CD от прямой b, как и все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а.

Рис. 86

 Что и требовалось доказать. 

Из этого можно сделать вывод, что

 Расстояние между параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой или же длина общего для этих двух прямых перпендикуляра. 

Также теорема выше верна и в обратную сторону:

 Обратная теорема: 

 Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. 

Построение треугольников по трём элементам.

 1. Задача: 

 Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 

 Построение: 

Даны отрезки BС, DЕ и угол A, как на рисунке 87.

Рис. 87

Проведём произвольную прямую b и на ней построим угол А так, чтобы одна его сторона совпадала с прямой b (Если ты не знаешь или не помнишь, как это сделать, то просто посмотри пятую тему второй главы). Затем с помощью циркуля отложим отрезок DЕ на луче b. На другой стороне отложим BC и проведём оставшийся отрезок B₁E₁. На рисунке 88 построен нужный треугольник СВ₁Е₁.

Рис. 88

 Построение завершено. 

 2. Задача: 

 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

 Построение: 

Даны углы A, B и сторона CD как на рисунке 89.

Рис. 89

Также проведём произвольную прямую b и на ней с помощью циркуля отложим отрезок СD. Затем построим угол А так, чтобы одна его сторона совпадала с прямой b (Если ты не знаешь или не помнишь, как это сделать, то просто посмотри пятую тему второй главы). И построим угол B так, чтобы его сторона совпадала с прямой b и другая сторона этого угла пересекалась со стороной угла А. Эти два угла пересекаются в точке Е. В итоге на рисунке 90 построен нужный треугольник СВЕ.

Рис. 90

 Построение завершено. 

 3. Задача: 

 Построить треугольник по трём его сторонам. 

 Построение: 

Пусть на рисунке 91 даны отрезки AB, CD и EF и нужно построить треугольник, в котором сторонами были отрезки, равные AB, CD и EF соответственно.

Рис. 91

Проведём произвольную прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ. Затем построим две окружности: одну – с центром в А и радиусом EF, а другую – с центром в В и радиусом CD. Одна из точек пересечения этих окружностей это точка G, а другая H. Проведя отрезки АG и GB, получим искомый треугольник AGB.

Рис. 92

 Построение завершено. 

Стоит отметить, что задача 3 не всегда имеет решение. Вспомни, что

 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 

Из-за этого если какой-нибудь из данных в условии этой задачи отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

И вот закончилась последняя тема последней главы этого сайта за 7 класс. За все 17 тем из четырёх глав ты вспомнил и узнал множество новых фактов, свойств и теорем, которые нужны для решения задач на чертеже и в жизни. Надеемся, что ты не забудешь этот сайт и будешь и дальше заходить сюда и узнавать для себя что-то интересное и нужное.