Метод математической индукции
Индуктивный метод или индукция – метод рассуждений, основой которого является изучение частных случаев.
Метод математической индукции применяют в случае, когда надо доказать что некоторое утверждение верно для любого натурального значения n. Доказательство состоит из:
1. Доказывают справедливость утверждения для n = 1.
2. Предполагают, что утверждение верно для n, на основании этого доказывают, что оно верно для n = k + 1.
Первый пункт данного алгоритма называют базовой индукций, второй пункт – индуктивным переходом.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Докажите, что при любом n ∈ N 15n + 6 кратно 7.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:При n = 1, 15 + 6 = 21 ⋮ 7. Предположим, что утверждение верно при n = k, 15^k + 6 ⋮ 7. Тогда докажем кратность при n = k + 1: 15^(k + 1) + 6 = 15^k * 15 + 6 = 15^k*14 + (15^k + 6), значит сумма кратна 7.
Пример 2: Докажите, что при любом n ∈ N 8n – 1 кратно 7.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:При n = 1 получим 7 ⋮ 7. Предположим, что утверждение верно при n = k, 8^k - 1 ⋮ 7. Тогда докажем кратность при n = k + 1: 8^(k + 1) - 1 = 8^k*8 - 1 = 7*8^k + (8^k - 1), так как каждое слагаемое кратно 7, значит и сумма кратна 7.
