Функция y = xn, где n – натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем.
Рассмотрим функцию y = xn с чётным натуральным показателем. Областью её определения является множество всех действительных чисел; область значения принадлежит интервалу [0; +∞). Нули функции: x = 0. Промежутки знакопостоянства: y > 0 при любом x, кроме 0. Данная функция является чётной. Функция убывает на промежутке (–∞; 0], а возрастает на промежутке [0; +∞).
Например, график функции y = x6:
Рассмотрим функцию y = xn с нечётным натуральным показателем. Областью её определения является множество всех действительных чисел; область значения – множество действительных чисел. Нули функции: x = 0. Промежутки знакопостоянства: y > 0 на промежутке (0; +∞), y < 0 на промежутке (-∞; 0). Данная функция является нечётной. Функция является возрастающей.
Например, график функции y = x5:
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Функция задана формулой f(x) = x64. Сравните f(-3,3) и f(3,2), а также f(-1) и f(1).
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Так как функция чётная, значит f(-3,3) > f(3,2), а f(-1) = f(1).
Пример 2: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x4 на промежутке [-1; 3].
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Так как функция чётная и представляет собой параболу с ветвями вверх, то ymin = 0. На промежутке ymax будет при x = 3, откуда y = 81.
Пример 3: Постройте график функции y = 0,5(2(x – 1))3 – 2.
Построив график y = x3, сместим его на 1 вправо, на 2 вверх, сожмём по оси x в два раза, расширим по оси y в два раза, получим:
