3. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения и умножения

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения и умножения 

 Равносильные системы – системы уравнений с двумя переменными, множества решений которых совпадают. 

Если множество решений первой системы уравнений является подмножеством множества решений второй системы уравнений, то вторую систему уравнений называют следствием первой системы уравнений.

 Рассмотрим теоремы, применяющиеся при решении системы уравнений методом подстановки и сложения: 

1. Если в системе уравнений заменить во втором уравнении переменную y выражением f(x), то получим систему равносильную данной.

2. Если в системе уравнений

заменить одно из уравнений уравнением F(x; y) + G(x; y) = 0, то получим систему, равносильную данной.

3. Если в системе уравнений где c₁≠0, c₂≠0, заменить одно из уравнений уравнением F(x; y) G(x; y) = c₁c₂, F(x; y)/G(x; y) = c₁/c₂, то получим систему, равносильную данной.

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Решите систему методом подстановки:

Выразим y из первого уравнения, получим y = 5 – 2x. Подставим y во второе уравнение, получим 5x – 2x² – 2 = 0. Для удобства разделим всё на -1, получим 2x² – 5x + 2 = 0. D = 25 – 16 = 9, откуда x₁ = = 0,5; x₂ = = 2.

Получим совокупность 2 систем:

 Пример 2:  Решите систему уравнений методом вычитания:

Домножим первое уравнение на 2, получим равносильную систему:

Вычтем из первого уравнения второе, получим 2x – x² – 1 = 0, преобразуем в полный квадрат, получим (x – 1)² = 0, откуда x = 1, y² = 1.

Получим совокупность двух систем: