4. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

С помощью метода замены переменной можно свести решение данного уравнения к решению более простого уравнения.

 Однородный многочлен – многочлен, все члены которого имеют одну и ту же степень. 

 Например:  x² + xy + y².

Симметрический многочлен – это многочлен F(x; y), для которого равенство F(x; y) = F(y; x) является тождеством.

Для решения уравнения, содержащего симметрический многочлен, применяют следующую теорему:

Любой симметрический многочлен с переменными x и y можно представить в виде многочлена с переменными z и w, где z и w – элементарные симметрические многочлены с переменными x и y.

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Решите систему уравнений:

Заменим = t, получим уравнение t + = 2. Приведём к стандартному виду, получим: t² – 2t + 1 = 0. Выделим полный квадрат, получим (t – 1)² = 0, откуда t = 1.

Исходная система равносильна системе:

Из первого предложения системы получим y = x, подставим во второе уравнение, получим 2x² = 8, откуда x² = 4, получим следующую совокупность двух систем:

 Пример 2:  Решите систему уравнений:

Представим первое и второе уравнения в виде симметрических многочленов:

Заменим x + y = t, xy = g. Получим систему, равносильную данной:

Откуда g = t² – 10. Подставим g в первое уравнение, получим t² – 2t² + 20 + 2t = 12, -t² + 2t + 8 = 0, t² – 2t – 8 = 0, откуда t₁ =  = -2, t₂ = = 4. Получим g₁ = 4 – 10 = -6, g₂ = 16 – 10 = 6. Получим совокупность 2 систем уравнений:

Решим первую систему: y = -2 – x, x(-2-x) = -6, x2 + 2x – 6 = 0, тогда x₁ = = , x₂ = = , y₁ = , y₂ = .

Решим вторую систему: y = 4 – x, x(4-x) = 6, x2 – 4x + 6 = 0, D = – 8 < 0 корней нет.

Ответ: (;), (;).