1. Числовые последовательности

Числовые последовательности

Последовательность состоит из объектов, которые пронумерованы натуральными числами. Объекты последовательности называют членами последовательности. Каждый член последовательности имеет свой номер, если этот номер n, то его называют n-м членом последовательности.

 Числовая последовательность – последовательность, членами которой являются числа. 

Последовательности делятся на конечные и бесконечные.

Последовательность называется заданной, если указано правило, с помощью которого можно найти любой её член.

 Последовательность можно задать: 

1. Описательным способом.

2. Табличным способом.

3. Формулой.

 Стационарная последовательность – последовательность, все члены которой равны. 

 Рекуррентная формула – формула, выражающая член последовательности через один или несколько предыдущих членов. 

 Начальные условия – условия, определяющие первый или несколько первых членов.  

 Рекуррентный способ – способ задания последовательности с помощью начальных условий и рекуррентной формулы. 

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Последовательность задана формулой n-го члена: a_n = 21 – 2n. Является ли членом этой последовательности число 7?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Вместо an поставим 7, получим 7 = 21 - 2n, откуда 2n = 14, n = 7. Значит число 7 является седьмым членом последовательности.

 Пример 2:  Последовательность a_n задана рекуррентно: a₁ = 11, a_{n + 1} = 4a_n + 3, является ли число 787 членом данной последовательности?

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Каждый член данной последовательности при делении на 4 даёт в остатке 3. Число 787 при делении на 4 даёт в остатке 3, значит оно является членом данной последовательности.

 Пример 3:  Последовательность a_n задана формулой n-го члена: a_n = 4n – 1. Задайте её рекуррентно.

Найдём первый член последовательности a₁ = 4 – 1 = 3. Чтобы вывести формулу, найдём второй и третий члены последовательности: a₂ = 8 – 1 = 7, a₃ = 12 – 1 = 11. Тогда рекуррентная формула последовательности будет такой: a_{n + 1} = a_n + 4.