6. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1

Пределом геометрической бесконечной прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1, является число 1. Записывают это так: = 1. Ещё можно записать так: = 1.

 Сходящаяся последовательность – это последовательность, имеющая предел. 

В зависимости от последовательности у разных последовательностей могут быть разные пределы.

Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле: S = .

Таким образом, бесконечную геометрическую прогрессию можно представить в виде обыкновенной дроби.

 Рассмотрим несколько примеров 

 Пример 1:  Представьте бесконечную десятичную дробь 0,3(47) в виде обыкновенной дроби.

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Данную бесконечную десятичную дробь можно представить в виде: 0,3 + 0,047 + 0,00047+ ..., откуда первый член прогрессии равен 0,047, знаменатель прогрессии 0,01. Воспользуемся формулой для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 0,047/0,99 = 47/990.

 Пример 2:  Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии , 1, …

 Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = √3/(1 - 1/√3) = 3/(√3 - 1).