Геометрическая прогрессия – это последовательность, первый член которой отличен от 0 и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное 0 число.
Знаменатель геометрической прогрессии – число, равное отношению последующего и предыдущего членов последовательности. Обозначают его буквой q.
Геометрическую последовательность можно задать рекурсивно: b1 = b, bn + 1 = bnq, то есть, чтобы задать геометрическую прогрессию, необходимо знать её первый член и знаменатель.
Таким образом, формула n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1qn-1.
Необходимо запомнить, что квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого и последнего, равен произведению двух соседних с ним членов: bn2 = bn – 1bn + 1. Также верным является и утверждение, обратное данному.
То есть, последовательность (bn), содержащая более двух членов, все члены которой отличны от 0, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n ≥ 2 выполняется равенство bn2 = bn – 1bn + 1.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии: 24, 6, 1,5…
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение.Решение:Чтобы найти знаменатель, разделим b2 на b1: 6/24 = 1/4. Воспользуемся формулой чтобы найти пятый член прогрессии: b5 = 24*(1/4)^4 = 0,09375.
Пример 2: Число 768 является членом геометрической прогрессии 3, 12, 48… Найдите номер этого члена.
Найдём знаменатель данной прогрессии: = 4. Воспользуемся формулой, чтобы найти номер члена прогрессии: 768 = 34n-1, откуда 4n-1 = 256, n – 1 = 4, n = 5.
Пример 3: Второй член геометрической прогрессии равен 9. Найдите произведение первых трёх членов прогрессии.
= 4. Воспользуемся формулой, чтобы найти номер члена прогрессии: 768 = 3
4n-1, откуда 4n-1 = 256, n – 1 = 4, n = 5. 
