Зависимые и независимые события
Условная вероятность – вероятность события X при условии, что произошло событие Y. Условную вероятность обозначают так: pY(X).
Необходимо запомнить, что если X и Y – события некоторого испытания, тогда p(X ∩ Y) = p(X)pX(Y).
Независимые события – события X и Y, при условии, что вероятность события X не изменится от того, произошло ли событие Y.
То есть события X и Y независимы только в том случае, когда pX(Y) = p(X) и pY(X) = p(X), а если хотя бы одно из этих равенств не выполняется, то события X и Y называют зависимыми.
Также необходимо запомнить, что если события X и Y некоторого испытания являются независимыми, то p(X ∩ Y) = p(X)p(Y).
Рассмотрим несколько примеров
Пример 1: Известно, что p(X) = 0,3, p(Y) = 0,45, p(X ⋃ Y) = 0,6. Найдите p(X ∩ Y), pX(Y), pY(X).
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Для нахождения p(X ∩ Y) воспользуемся формулой p(X ∩ Y) = p(X) + p(Y) - p(X ⋃ Y) = 0,3 + 0,45 - 0,6 = 0,15. Из формулы p(X ∩ Y) = p(X)pX(Y): pX(Y) = p(X ∩ Y)/p(X) = 0,15/0,3 = 0,5, pY(X) = p(X ∩ Y)/p(Y) = 0,15/0,45 = 1/3.
Пример 2: В классе 30 человек. Из них 26 мальчиков и 4 девочки. Найдите вероятность того, что случайно выбранный человек окажется мальчиком и будет иметь оценку ”5” по математике.
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Примем за событие X выбор мальчика, а за событие Y оценку “5”. Тогда p(X) = 26/30 = 13/15, p(Y) = 1/5. Тогда вероятность можно найти по формуле: p(X ∩ Y) = p(X)p(Y) = 13/15 * 1/5 = 13/75.
Пример 3: В пакете лежали 3 апельсина и 6 мандаринов. Из пакета вынули 1 мандарин. Какова вероятность того, что вторым достанут ещё один мандарин?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно, а если не получается, то просто нажмите на это предложение. Решение:Так как количество мандаринов убавилось на 1, то и количество всех фруктов убавилось на 1, поэтому вероятность того, что достанут мандарин будет 5/8.
