Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Рис. 105
На рисунке 105 можно увидеть прямоугольник. Так как любой прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся назад к рисунку 105, на котором изображён прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т. е. АС = BD.
Докажем и обратное утверждение (Признак прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD на всё том же рисунке 105 диагонали АС и BD равны. Треугольники ABD и DC А равны по трём сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда следует, что ∠A = ∠D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Таким образом, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D. Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, поэтому ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, или параллелограмм ABCD является прямоугольником.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны друг другу.
Рис. 106
На рисунке 106 можно увидеть ромб. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Наряду с ними ромб обладает особым свойством:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD, как на рисунке 106. Нужно доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. По определению ромба все его стороны равны, в частности АВ = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, проведённая к основанию, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC и аналогично можно доказать равенство других углов у диагонали.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Рис. 107
На рисунке 107 можно увидеть квадрат. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, или же ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Вот основные свойства квадрата:
Рис. 105
Рис. 106
Рис. 107
