Теорема Пифагора и формула Герона.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с2 = а2 + b2.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b. Площадь S этого квадрата равна (a + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна и квадрата со стороной с, поэтому
Таким образом, (а + b)2 = 2аb + с2, откуда с2 = а2 + b2.
Что и требовалось доказать.
Обратная теорема:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС: АВ2 = АС2 + ВС2. Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1 с прямым Углом С1, у которого А1С1 = АС и В1С1 = ВС. По теореме Пифагора и, значит, Но АС2 + ВС2 = АВ2 по условию теоремы. Следовательно, откуда А1В1 = АВ. Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.
Что и требовалось доказать.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники со сторонами 3, 4 и 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 являются прямоугольными.
